Die Umkehrung der Kugel
8
Dezember 2004
Seite 4
Die Version von Bernard Morin
Zum Herunterladen der PDF-Version des Artikels von B. Morin und J.P. Petit aus dem Jahr 1979, erschienen in Pour la Science
Die Umkehrung der Kugel
( 2,8 MB )
Wir beginnen mit einer Kugel, die ihre graue Seite nach außen und ihre rosa Seite nach innen zeigt. In den Bildern b und c bringen wir die Pole zum Kontakt. Dann durchdringen sich die Flächen gemäß einer „Kniekatastrophe“. Dabei entsteht eine geschlossene Kurve mit Selbstüberschneidung. Unten rechts zeigen drei Halbschnitte die erreichte Konfiguration besser. Zu diesem Zeitpunkt ähnelt die Kugel einem runden „Aufblasboot“ mit einem „Wulst“ und einer doppelten Bodenfläche.
Erste Phase: Eine „Kniekatastrophe“. Entstehung einer geschlossenen Kurve mit Selbstüberschneidung
Zweite Operation: Neue Kniekatastrophe, Entstehung einer zweiten geschlossenen Kurve.
Zweite Entstehung einer geschlossenen Kurve mit Selbstüberschneidung.
Dazu hat sich das „Aufblasboot“ gebogen, wobei eine Verdrehung stattfand, die es ermöglichte, zwei gegenüberliegende Teile des „Wulstes“ zum Kontakt zu bringen. Das folgende Bild ist das Ergebnis zweier Katastrophen, die „Mandarinenstücke“ hervorbrachten.
Nach der Entstehung zweier „Mandarinenstücke“
Links wurden Schnitte im Modell vorgenommen. In der Mitte ist die Weise dargestellt, wie die beiden Zylinder, deren Querschnitt lokal die Form des griechischen Buchstabens „Gamma“ annimmt, sich durchdringen. Man erinnere sich daran, dass die Katastrophe der „Mandarinenstücke“ dadurch entstand, dass ein „Stamm“ mit zwei Ebenen geschnitten wurde, die einen Diederwinkel bilden. Jede der zylindrischen Strukturen, deren Querschnitt die Form „Gamma“ hat, beinhaltet sowohl die abgerundete als auch die Diederfläche. Betrachten Sie die Abbildung i genau. In j ist die gesamte Selbstüberschneidungskurve dargestellt. Der größte Teil der geschlossenen Kurve stammt aus der ersten „Kniekatastrophe“, die die Kugel in ein „Aufblasboot“ verwandelte. Nach der Entstehung der beiden Mandarinenstücke ergibt sich ein komplexeres Gebilde, von dem j ein Teil ist. In j' sieht man, dass diese Struktur mit der Verbindung zweier „Mandarinenstücke“ an zwei nicht benachbarten Kanten eines Tetraeders vergleichbar ist.
Alles wird eines Tages viel einfacher zu verstehen sein, wenn ich Animationen erstellen kann. Technisch ist das kein Problem. Es ist nur eine Frage der Zeit. Nur wenige Menschen können nicht nur im Raum sehen, das heißt, diesen Codierungscode aus Linien, Strichen, Farben, Schatten und Reflexen lesen, sondern auch in ihrem Kopf eine Folge von Transformationen verknüpfen, indem sie sich die vorgeschlagene Bewegung vorstellen. Ich hoffe, eines Tages die Zeit dafür zu finden. Dabei sei erwähnt, dass man polyedrische Modelle verwenden könnte, wie ich es tat, um zu zeigen, wie man eine Crosscap in eine Boy-Fläche verwandeln kann. Das ist die Zukunft. Doch diese Modelle müssen erfunden werden. Weiter unten finden Sie die optimierte polyedrische Version des zentralen Modells dieser Transformation, wie sie von Bernard Morin entworfen wurde (erinnern wir uns: er ist blind!). Außerdem wird die Methode zur Selbsterstellung aus einem Ausschnitt gezeigt.
Warum habe ich diese Dinge nicht weiter verfolgt? Ich würde sagen: aufgrund des Mangels an „Perspektiven“. Es gibt keine mathematischen Zeitschriften, die solche Arbeiten veröffentlichen würden. Wir konnten es 1975–1978 durch einige Notizen in den Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris tun, die vermutlich kaum jemand gelesen hat. Doch das war nur möglich, weil der Akademiker André Lichnérowicz persönlich an diesen Arbeiten interessiert war. Er ist mittlerweile verstorben. Da die Arbeiten bereits 1975 abgeschlossen waren, wäre es wünschenswert gewesen, einen Animationsfilm aus meinen Zeichnungen zu erstellen. Da ich in der Animation gearbeitet hatte, war ich durchaus in der Lage, ein solches Projekt zu koordinieren. Doch es war unmöglich, eine Finanzierung beim CNRS zu finden. Schließlich gelang es dem amerikanischen Mathematiker Nelson Max, sich an den Modellen seines Kollegen Charles Pugh (dieser Version der Kugelumkehrung) orientierend und mit Hilfe eines leistungsfähigen Computers, den ersten Film zu produzieren. Doch dies war weder das erste noch das letzte Mal, dass Franzosen, deren Bemühungen keinerlei Echo fanden, von ausländischen Kollegen, die besser organisiert und besser unterstützt waren, vorausgegangen wurden.
Nun zur dritten Phase, der schwierigsten zu erfassen.
Vorbereitung zweier „Hosenkatastrophen“
In der Abbildung k erkennt man deutlich die beiden Enden der „Hosenbeine“, deren Detail in der Vorderansicht k' dargestellt ist. Der weiße Pfeil zeigt den Durchgang „zwischen den Beinen“. Diese Transformation ist wirklich schwer zu erfassen. Ich habe die Zeichnung m hinzugefügt, um besser verständlich zu sein. In l habe ich mit Strichen die Selbstüberschneidungskurve dargestellt, die in ihrer Gesamtheit in l' erscheint. Ein Durchgang (der, den der weiße Pfeil nimmt) wird sich schließen. Dieser Schließungsprozess geht mit einem Anstieg eines Teils der Schnittkurve an zwei Stellen einher. Diese Kurvenstücke werden jeweils auf einer der Linien, die zu den „Mandarinenstücken“ gehören, zum Kontakt kommen. Wenn der Kontakt hergestellt ist, erfolgt die „Chirurgie“. Die Schwierigkeit liegt darin, dass man, nachdem man die vier elementaren Katastrophen auf der vorherigen Seite gesehen hat, in der Lage sein muss, sie aus allen Blickwinkeln zu erfassen, sich dabei fast die Halswirbel verdrehen zu müssen. In n ist der kritische Moment dargestellt, in dem die „Chirurgie“ stattfindet (die „mittlere Lage“ der Transformation), in der sich die Art der Verbindung der Kurvenstücke ändert. Man weiß, dass diese „Hosenkatastrophe“ einen Durchgang schließt und einen anderen öffnet. Der ursprüngliche Durchgang ist durch den weißen Pfeil dargestellt. Doch es gibt noch einen anderen, den man unter dem gleichen Blickwinkel sehen würde, wenn man das Modell um 180° um eine vertikale Achse dreht. Diese Pfeile bilden nur eine. Bevor diese Katastrophen eintreten, ist es noch möglich, durch dieses „eingeklappte Aufblasboot“ zu wandern. Sobald diese Katastrophen wirken, ist dieser Durchgang nicht mehr möglich. Stattdessen entstehen zwei neue Durchgänge. Aber wo? Welche Teile des Raums sind betroffen? Diese Durchgänge verbinden den Inneren der Mandarinenstücke mit dem Äußeren. In l' sehen Sie die Mandarinenstücke. Nun zur nächsten Phase.
Schließung des Durchgangs. Hin zur doppelten kritischen Situation
In Eno sind die beiden „Hosenkatastrophen“ in zwei verschiedenen Stadien dargestellt. Ein Durchgang ist vollständig geschlossen. Wir befinden uns in einer kritischen Lage, kurz bevor sich die Art der Verbindung der Kurvenstücke ändert. Rechts (Detail in o') wird der Durchgang gerade geschlossen. Daher unterscheidet sich die Form der Selbstüberschneidungskurve o" rechts und links. Auf den Abbildungen p, p' und p" ist die Kritikalität (die „mittlere Lage“ der Transformation) auf beiden Seiten erreicht. Auf der folgenden Seite haben die „Chirurgien“ ihre Wirkung entfaltet. Die Rohre, die in p" noch beginnend waren und die Mandarinenstücke mit dem Äußeren verbanden, sind nun vollständig gebildet:
Die beiden „Hosenkatastrophen“ haben ihre Wirkung entfaltet. Die Durchgänge (weiße Pfeile) sind geöffnet.
Nun wird die Arbeit an der unteren Hälfte des Modells fortgesetzt, deren Detail in r angegeben ist. Betrachten wir diesen Teil der Oberfläche genau. Wir sehen zwei sich kreuzende parabolische Zylinder, die in zwei senkrecht zueinander stehenden Richtungen ausgerichtet sind. An der unter