Das Umdrehen des Torus
- Dezember 2004
Seite 5
Eine Folge dieser Arbeiten: das triviale Umdrehen des Torus
Sollte es so schwierig gewesen sein, eine Kugel umzudrehen, so ist es dagegen ausgehend davon äußerst einfach, einen Torus umzudrehen. Man kann sogar sagen, dass dies für ein zehnjähriges Kind machbar ist. Denn der Torus ist ja letztlich eine Kugel mit einem Henkel. Man verfährt dabei genau so, wie bei der Vertauschung der beiden Spitzenpunkte einer Crosscap, das heißt, man dreht die Kugel einfach um, ohne sich Gedanken zu machen. Der Henkel befindet sich dann innerhalb. Man könnte sagen, dass dieses „Bergwerk“ in einen „Untergrundpassage“ umgewandelt wird. Doch alle Straßenbauingenieure wissen: Jede Untergrundpassage in einem Straßennetz kann mittels einer regulären Homotopie in einen Punkt verwandelt werden.
Wenn die Kugel umgedreht ist, genügt es, einen Finger in diese Passage zu schieben und einen kräftigen Zug auszuüben. Siehe die folgenden Zeichnungen.
Das triviale Umdrehen des Torus
Auch wenn dies auf dieser Zeichnung nicht besonders gut zu erkennen ist, ist in
a
einer der Erzeugerkreise des Torus eingezeichnet, die zu einer der beiden Kreisfamilien gehören, die den Torus kartografieren können, ohne eine Gitter-Singularität zu erzeugen (siehe „Topologicon“). Sobald der Henkel auf einen Bereich einer Henkelkugel konzentriert ist,
b
bleibt die Kurve weiterhin sichtbar. Wenn die Henkelkugel umgedreht ist,
c
und der Operator seinen Finger in die Passage schiebt, umgibt die Kurve nun seinen Finger. Wenn er den Henkel „herauszieht“,
d
sieht man (Endbild
e
, das des umgedrehten Torus), dass dieser Kreis nun der .. Halskreis der Fläche geworden ist. Wenn man also von einem Torus ausgeht, der mittels eines doppelten Netzes aus Meridian- und Parallelkreisen kartografiert wurde (der Halskreis gehört dabei zu dieser zweiten Familie), erkennt man, dass die Umdrehungsoperation diese beiden Familien vertauscht. Das hat etwas Magisches, und ich muss zugeben, dass dies meine persönliche Vorstellungskraft übersteigt. Jeder sollte lernen, seine Grenzen zu erkennen. Persönlich glaube ich, dass der Geist bei bestimmten Denkprozessen über einen Sicherungsschalter verfügen sollte.
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