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Geodäten.
...Im Folgenden beschäftigen wir uns mit 2D-Flächen. Übrigens, warum ist eine Fläche ein 2D-Objekt? Weil man zwei Parameter benötigt, um einen Punkt darauf zu lokalisieren. Beispiel: Längen- und Breitengrade auf der Erde.
...Das sind Dinge, die Sie besser mit Ihren Händen als mit Ihrem Kopf verstehen werden. Versuchen Sie, einige Gegenstände vor dem Lesen dieses Textes zu finden. Sie benötigen:
- Papier, sowohl fest als auch flexibel.
- Farbiger Klebeband.
- Scheren
...Ab jetzt können Sie mit diesem farbigen Klebeband konstante Breitengürtel herstellen.
(6)
...Nehmen Sie einfach eine beliebige Fläche, z. B. die Karosserie Ihres Autos. Sie können Ihr Klebeband darauf kleben, wobei Sie sorgfältig Falten vermeiden. Dann erhalten Sie Geodäten dieser Fläche. Es gibt unendlich viele davon auf der Karosserie Ihres Autos.
Sie können es auch auf einer flachen Platte machen. Dann erhalten Sie die „Geraden Ihres Plans“.
„Geraden“ sind nur besondere Geodäten, die auf der Ebene liegen.
(7)
Mit drei Geodäten bilden Sie ein Dreieck auf dieser „euklidischen Fläche“. Dann beträgt die Summe der drei Winkel 180°.
Posicones.
...Jetzt bauen wir einen „Posicon“ – eine Art „positiver Kegel“. Nehmen Sie einfach ein Stück Papier, eine ebene Fläche, und schneiden Sie mit Ihren Scheren einen Sektor aus. Dann kleben Sie die Linien SA und SB zusammen, wie in der folgenden Abbildung angegeben.
(8)
...Jetzt zeichnen wir mit unserem Klebeband drei Geodäten auf diese Fläche, wie in Abbildung (9) gezeigt. Wir können die Summe der drei Winkel messen und wir finden zwei Fälle:
Wenn das Dreieck den Scheitelpunkt S dieses Posicon nicht enthält, bleibt die Summe 180°.
Wenn das Dreieck den Scheitelpunkt enthält, egal wie groß oder klein es ist, beträgt die Summe: 180° + q .
(9)
Um es besser zu verstehen, können Sie Ihren Posicon ausschneiden und flach legen. Dann wird Ihr Winkel q deutlich sichtbar.
(10)
...Sie können leicht überprüfen, dass die beiden Geraden AH und wir können also leicht überprüfen, dass die Geraden SH und SH' einen Winkel von q bilden.
...Ein Kegel ist eine Fläche, die man flach legen kann, nachdem man entlang einer Linie, die den Scheitelpunkt enthält, geschnitten hat. Auf Französisch sagen wir, es handelt sich um eine „entfaltbare“ Fläche, aber ich finde das englische Wort in meinem Wörterbuch nicht. Das Gleiche gilt für einen Zylinder.
(11)
...Sie können Geodäten auf einem Zylinder mit Ihrem Klebebandstreifen zeichnen. Aber nachdem Sie Ihre Schnittstelle gemacht und den Zylinder flach gelegt haben, werden Ihre Geodäten zu ... Geraden.
Sie können auch solche Flächen (Kegel, Zylinder) auf einer Ebene abrollen. Nächste Abbildung.
(12)
...Sie können eine Geodäte auf einem Kegel oder auf einem Zylinder mit Tinte zeichnen und dann abrollen, wobei Sie es als Druckmatrix verwenden. Dann erhalten Sie auf Ihrer Ebene Geraden.
...Umgekehrt, wenn Sie Geraden auf Ihrer Ebene zeichnen und den Kegel oder den Zylinder darauf abrollen, bevor die Tinte trocknet, drucken Sie Geodäten darauf.