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(positiv) Krümmung.****
Wenn wir ein Dreieck mit unserem Klebeband auf einer Ebene zeichnen, beträgt die Summe der Winkel 180°. Es handelt sich um eine euklidische Fläche. Wir sagen, dass sie keine Krümmung enthält. Sie ist tatsächlich eine ebene Fläche. Die Summe der Winkel unseres Dreiecks ist die euklidische Summe. Als wir das Dreieck auf unserem Kegel, unserem „Posikonen“, zeichneten und der Scheitelpunkt S außerhalb lag, betrug die Summe immer noch 180°. Im Gegensatz dazu betrug die Summe, als der Scheitelpunkt innen lag, 180° plus dem Winkel q (der Winkel, den wir schneiden konnten, um unser Posikonen zu bauen, siehe Abbildung (8)).
Dieser Scheitelpunkt ist ein besonderer Punkt der Fläche, ein kegelförmiger Punkt, und wir sagen, dass er eine gewisse (positive) konzentrierte Krümmung enthält. Es ist ein Punkt mit konzentrierter (positiver) Krümmung.
Wir können nun zwei Schnitte vornehmen, die den Winkeln q1 und q2 entsprechen. Siehe Abbildung (13). Wir erhalten dann eine seltsame Fläche mit zwei kegelförmigen Punkten S1 und S2. Siehe Abbildung (14).
(13)
(14)
Sie können nun so viele geodätische Dreiecke zeichnen, wie Sie möchten, die verschiedenen Fällen entsprechen.
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Wenn sie keinen kegelförmigen Scheitelpunkt enthalten, beträgt die Summe der Winkel 180°.
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Wenn sie den Scheitelpunkt S1 enthalten, beträgt die Summe 180° plus q1.
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Wenn sie beide Scheitelpunkte, q1 und q2, enthalten, beträgt die Summe 180° + q1 + q2
(15)
Stellen Sie sich nun vor, Sie könnten eine große Anzahl kleiner Posikonen herstellen und sie wie in Abbildung (16) gezeigt zusammenkleben. Jedes kleine Posikonen entspricht einem elementaren Winkel Dq. Sie können diese kleinen Kegel auf reguläre Weise anordnen. Ich meine: Der Abstand zwischen einem Scheitelpunkt und den Scheitelpunkten der benachbarten kleinen Kegel wäre überall fast konstant.
(16)
Wenn Ihre kleinen Kegel immer kleiner werden, sowie ihr zugehöriger elementarer Winkel Dq, bauen Sie einen Teil einer regulären Fläche mit konstanter Krümmungsdichte auf.
Eine Kugel ist eine Fläche mit konstanter lokaler Krümmungsdichte. Mit anderen Worten, man sagt, dass die Kugel eine Fläche mit konstanter Krümmung ist.
Wenn Sie Ihre kleinen Kegel anders anordnen, können Sie eine Fläche mit variable lokaler Krümmungsdichte bauen. Zum Beispiel ein Ei. Das Ei einer Henne ist eine Fläche mit variable lokaler Krümmungsdichte. Aber eine Tischtennisball ist eine Fläche mit konstanter Krümmungsdichte. Das ist der Grund, warum die Henne ihr Ei erkennt und den Unterschied zum Tischtennisball macht. Sie zeichnet geodätische Linien mit Klebeband usw...
Tatsächlich zeichnet die Henne physikalisch keine Geodäten auf dem Objekt. Sie tut es mentally.
(17)
In der allgemeinen Relativitätstheorie identifiziert man die Massendichte r mit der lokalen Krümmung.
Natürlich ist das Terrain der allgemeinen Relativitätstheorie keine 2D-Fläche. Sie können sich eine 3D-Hyperebene vorstellen. Sie können sich eine 3D-Hypersphäre vorstellen. Aber wer kann sich eine 4D-Hyperebene vorstellen?
Außerdem hat die 4D-Krümmung der 4D-Hyperebene, die als „Universum“ bezeichnet wird, besondere Eigenschaften, die wir hier nicht untersuchen werden. Dies zeigt, dass didaktische Modelle ihre Grenzen haben. Aber sie sind gut, um die Fantasie anzuregen und das Denken in etwas anderen Welten zu öffnen.
Originalversion (Englisch)
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(positive) Curvature.****
When we draw a triangle, using our sticky tape, on a plane, the sum of the angles' value is 180°. This is an euclidean surface. We will say that it contains no curvature. It is really a flat surface. The sum of the angles of our triangle is the euclidean sum. When we drew the triangle on our cone, our "posicone", and when the summit S was outside it, the sum was still 180°. Oppositely, when the summit was inside, the sum was 180° plus the angle q (the cut we managed to build our posicone, see figure (8)).
This summit is a peculiar point of the surface, a *conical *one and we will say that it contains some (positive) concentrated curvature. Its a concentrated (positive) curvature point.
Now we can manage two cuts, corresponding to angles q1 and q2 . See figure (13). Then we get some strange surface with two conical points S1 and S2. See figure (14).
(13)
(14)
Now you can draw as many geodesic triangles you want, correspnding to different cases.
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If they contain no conical summit, the sum of the angles is 180°.
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If they contain the summit S1 , the sum is 180° plus q1.
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If they contain the two summits, q1 and q2, the sum is 180° + q1+ q2
(15)
Imagine now that you can make a large number of tiny posicones and glue them together, as shown on figure (16). Each tiny posicone corresponds to an elementary angle Dq . You can arrange these mini-cones in a regular way. I mean : the distance between a summit and summits of the neighbours' mini cone would be almost constant everywhere.
(16)
If your mini-cone get smaller and smaller, as well as their associated elementary angle Dq , you will build a portion of regular surface with constant curvature density.
A sphere is a surface with constant local curvature density. In a simpler way, on says that the sphere is a constant curvature surface.
If you arrange your mini-cones differently, you can build a variable local curvature density surface . For an example an egg. The egg of a hen is a variable local curvature density surface. But a ping-pong ball is a constant curvature density surface. That's so that the hen recognizes its egg and makes the difference with the ping-pong ball. It draws geodesics with sticky tape, and so on...
In fact, the hen does not physically figure geodesics on the object. It does it mentally .
(17)
In general relativity one identifies mess density r to local curvature.
Of course the general relativity playground is not a 2d surface. You can imagine a 3d hypersurface. You can imagine a 3d hypersphere. But who can imagine a 4d hypersurface ?
By the way, the 4d curvature of the 4d hypersurface called "universe" has special features we are not going to explore here. This shows that didactical models are limited. But they are good to stimulate the imagination and to open the mind towards somewhat different worlds.