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**Didaktisches Bild eines Himmelskörpers **(Stern, Planet, dichtes Ei)
** **Ein Stern wie die Sonne ist eine Massenkonzentration. Umgeben: das Vakuum oder ein Bereich des Raumes, der „fast leer“ ist, da er ein sehr verdünntes Gas und Photonen enthält. In 2D ist das entsprechende didaktische Bild ein stumpfer (posi) Kegel:
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Sie können es mit zwei Komponenten herstellen. Ein Stück einer Kugel und ein Stück eines (posi) Kegels, die zusammengeklebt werden. Das Stück einer Kugel ist eine Fläche mit konstanter Krümmung. Das Stück des Kegels ist eine ebene Fläche, eine Fläche mit lokaler Krümmung null. Dieser letzte Beispiel ist eine euklidische Fläche. Das Stück der Kugel ist eine nicht-euklidische Fläche (eine riemannsche Fläche).
Dies ist das 2D-didaktische Bild eines Objekts mit konstanter Dichte, das von Vakuum umgeben ist.
Wie können Sie die beiden Elemente zusammenhalten, um die Kontinuität der Tangentialebene zu gewährleisten? Es ist einfach. Ihr Kegelstück stammt von einem Kegel, dessen Querschnitt einem Winkel q entsprach. Ihr Kugelstück soll aus elementaren Mini-posicones gebaut werden, sodass es eine gewisse „Menge an Winkelkrümmung“ q enthält. Wenn die beiden Winkel gleich sind, wird die Tangentialebene kontinuierlich sein.
Aber wie misst man die Menge an Krümmung, die in einem bestimmten Bereich einer Kugel enthalten ist?
Gesamtkrümmung.
Wir können eine Fläche aus elementaren posicones bauen. Wir können sie so anordnen, dass eine Fläche mit konstanter Krümmungsdichte entsteht. Dann wissen wir, dass die Fläche ein Stück einer Kugel ist. Wenn wir immer mehr elementare (posi) Kegel hinzufügen, wird die Kugel vollständig. Sie enthält eine gewisse Menge an Winkelkrümmung. Alle Kugeln enthalten die gleiche Menge. Die gesamte Winkelkrümmung einer Tischtennisball und die gesamte Winkelkrümmung der Erde sind gleich, obwohl sie sehr unterschiedlich schwer sind.
Übrigens hat auch ein Ei die gleiche Gesamtkrümmung, da sie die gleiche Topologie haben. Im Prinzip legen Hühner Eier mit sphärischer Topologie. Persönlich habe ich noch nie ein Ei mit toroidaler Topologie gesehen. Es würde einem seltsamen Schlangen entsprechen, ohne Kopf oder Schwanz, oder etwas Ähnliches.
Zurück zu Tischtennisbällen, normalen Kugeln. Wenn diese Fläche eine konstante lokale Winkel-Dichte hat, bedeutet das, dass die Menge an Winkelkrümmung (die Summe der elementaren Winkel Dq) proportional zur Fläche ist. Siehe Abbildung 19. Diese Fläche kann durch eine beliebige Grenze begrenzt sein. Aber wir können die Geodäten der Kugel verwenden. Nennen wir S die Fläche der Kugel und s die graue Fläche innerhalb des Dreiecks.
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Oben haben wir gesehen, dass der (positive) Abstand von der euklidischen Summe (180°), für ein Dreieck, das auf einer Fläche gezeichnet wird, von der Anzahl der Kegelspitzen abhängt, die sich innerhalb befinden. Die Summe war 180° plus alle Winkel, die diesen eingeschlossenen Spitzen entsprachen.
Umgekehrt, wenn ich den Abstand von der euklidischen Summe messe, kann ich die Menge an Krümmung messen, die innerhalb des Dreiecks enthalten ist.
Eine Geodäte einer Kugel wird als großer Kreis der Kugel bezeichnet. Siehe Abbildung (20). Meridiane, Äquator, sind große Kreise der Kugel.
(20)
Wir können unsere Kugel in acht Stücke mit gleicher Fläche schneiden. Siehe Abbildung (21). Wir erhalten acht Dreiecke, deren alle Winkel 90° betragen. Der Abstand von der euklidischen Summe beträgt also 90°. Jedes dieser Dreiecke enthält eine Winkelkrümmung von 90°. Als Schlussfolgerung ist die Gesamtkrümmung, die gesamte Winkelkrümmung der Kugel 8 × 90° = 720° = 4π.
(21)
Jedes graue Dreieck enthält π/2.
Mögen Sie gewölbte Flächen, die Geometrie der riemannschen Flächen?
Wenn wir zu unserem stumpfen Kegel zurückkehren, sehen wir, dass die Winkelkrümmung innerhalb des kreisförmigen Randes, in dem Bereich mit konstanter Krümmungsdichte, enthalten ist. Die Flanke, die Wand des Kegels, ist keine begrenzte Fläche. Sie können sie unendlich ausdehnen, wenn Sie möchten. Die Menge an Winkelkrümmung hängt nicht vom Umfang des Randes oder der Fläche des Kugelstücks ab. Diese letzte kann reduziert werden. Siehe Abbildung (22). Selbst reduziert auf einen einfachen Punkt, würde sie die gleiche Menge an Winkelkrümmung enthalten. Deshalb sagen wir, dass ein kegelförmiger Punkt ein Punkt mit konzentrierter Krümmung ist. Umgekehrt können wir glatte Flächen aus einer Menge von kegelförmigen Punkten bauen.
Materie besteht aus Atomen. Atome können als punktförmige Objekte betrachtet werden. Sie sind „Punkte mit konzentrierter Krümmung“ im 3D-Raum.
Die Luft, die Sie einatmen, ist ein Medium mit konstanter Dichte. Sie besteht aus Molekülen, Atomen. Es ist eine Menge von Punkten mit konzentrierter Krümmung, verbunden durch euklidische Abschnitte des Raums. Sie assimilieren dies zu einem Medium mit konstanter Krümmung.
Das nächste Mal, wenn Sie atmen, denken Sie daran.
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