Konjugierte Geometrien und Winkellänge

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Konjugierte Geometrien.****

Wir können nun einen stumpfen Posikon und einen stumpfen Negakon verknüpfen. Frontal zueinander: ein Bereich einer Kugel und eine Sattelform, mit entgegengesetzter Winkelkrümmung + q und - q. Wir haben eine Punkt-zu-Punkt-Zuordnung (injektive Abbildung). Auf Abbildung (39) wurden ein Paar konjugierter Punkte dargestellt.

Wir nennen konjugierte Geometrien zwei geometrische Strukturen, die punktweise verknüpft sind, sodass die lokalen Krümmungsdichten entgegengesetzt sind. Dies ist der Fall für den Bereich der Kugel und den entsprechenden Sattel. Das Gleiche gilt für den Bereich des Posikons, gegenüber einem Bereich des Negakons. Ihre lokalen Winkelkrümmungsdichten sind null. (39)

Die positive Krümmung im Faltungsgebiet F ist vollständig in dem Bereich der Kugel enthalten. Der Bereich des Posikons ist eine euklidische Fläche, die „lokal flach“ ist. In der anderen Faltung F*, der konjugierten Faltung, ist die gesamte (negative) Winkelkrümmung in der Sattelform enthalten. Außerhalb ist der Bereich des Negakons „lokal flach“ und enthält keine Krümmung.

Beachten Sie, dass man aus einer gegebenen Faltung die andere konstruieren kann.

Allgemeine Relativitätstheorie.

Die grundlegende Idee ist, dass der lokale Inhalt von „Materie-Energie“ die lokale Geometrie bestimmt, sie formt die Raum-Zeit-Hyperschicht. Beachten Sie das zusammengesetzte Wort „Materie-Energie“, das zeigt, dass jeder Inhalt die Geometrie des Universums bestimmt: Materie* und *Strahlung. In einem vorherigen Abschnitt haben wir erwähnt, dass Photonen zur (positiven) Krümmung beitragen. Heute ist die Beiträge des kosmischen Hintergrunds vernachlässigbar. Der Beitrag der Materie zur Geometrie ist vorherrschend. Doch in der fernen Vergangenheit war die Situation umgekehrt: im Standardmodell, als t < 500.000 Jahre.

Lassen Sie uns ein didaktisches Modell betrachten, um die grundlegenden Konzepte der allgemeinen Relativitätstheorie zu verstehen. Beschäftigen wir uns mit stationären Systemen. Betrachten Sie eine ebene Fläche ohne innere Spannungen. Wir können ihre Geometrie verändern, indem wir lokale Spannungen einführen. Wir können positive oder negative Spannungen (Spannungstensor) einführen. Zum Beispiel, wenn ich eine Kunststofffolie erhitze, erzeuge ich eine Wölbung (positiver Krümmungseffekt).

Ich kann auch das Material mit einem Produkt imprägnieren, das nach dem Trocknen lokale Dehnung verursacht (negativer Krümmungseffekt).

Ein Schmied weiß, wie man Erhitzen und Abkühlen verwendet, um eine metallene Oberfläche zu formen, z. B. ein Behälter, das einem Unfall unterzogen wurde.

Nehmen wir ein einfaches Metallrohr. Erhitzen wir eine Seite und kühlen wir die andere Seite ab. Was wird passieren?

(40)

Die Spannungen werden das Rohr biegen, wie in Abbildung (41) dargestellt.

(41)

Wir haben Spannungen in das Metall eingeführt. Dies ist die Ursprungsstelle des Wortes Tensor in der Mathematik, Festigkeitslehre und Geometrie. Der Spezialist für Festigkeitslehre spricht von einem Spannungstensor. Der Geometer erwähnt den Krümmungstensor. Der Spezialist für allgemeine Relativitätstheorie wendet das grundlegende Prinzip an:

lokale Materie-Energie-Inhalt <-------> lokale Geometrie

Natürlich bestimmt dieser lokale Materie-Energie-Inhalt die lokale Geometrie einer 4D-Hyperschicht. Aber die Idee ist ähnlich.

Wie schreibt man das? Mit dem, was Mathematiker Tensoren nennen.

Es ist schwierig, in diese Richtung weiterzugehen, ohne einen vollständigen Kurs in Differentialgeometrie zu entwickeln. Die berühmte Einstein-Gleichung ist: (42)

**S **= c T

c ist eine einfache Konstante (die als Einstein-Konstante bezeichnet wird). Sie hängt von den Werten zweier anderer Konstanten ab:

• Die Lichtgeschwindigkeit c.

• Die Gravitationskonstante G.

durch:

(42bis)

S ist ein geometrischer Tensor und trägt die geometrischen Merkmale.

T ist ein anderer Tensor, der den lokalen Inhalt des Universums beschreibt. In diesem Tensor finden Sie die Materiedichte r und den Druck p. Sie werden als Energie-Dichten ausgedrückt. r c² ist eine Energie-Dichte

Aber p ist auch eine Energie-Dichte. Normalerweise wird ein Druck in Pascal pro Quadratmeter ausgedrückt. Aber ein Pascal pro Quadratmeter ist auch ein Joule pro Kubikmeter. Ein Druck ist grundsätzlich eine Volumen-Energie-Dichte. Die Felder

r (x,y,z) und p (x,y,z)

für ein stationäres System bilden die Eingabe des Problems. Aus diesen skalaren Feldern können wir den Tensor T konstruieren. Dann stellt sich die Frage:

• Welche Geometrie entspricht einem solchen Tensorfeld T (x,y,z), das die Gleichung (42) erfüllt?

Gegeben der lokale Inhalt des Universums muss der Theoretiker die lokale Geometrie der Raum-Zeit-Hyperschicht konstruieren. Aber wozu?

Hier wird die zweite grundlegende Hypothese verwendet:

• Alle Objekte, die unser Universum bilden, folgen den Geodäten der Raum-Zeit-Hyperschicht.

Ein Objekt kann eine Stern, ein Planet, ein Atom, ein Photon, eine Elementarteilchen sein.

Kommt die Teilchen aus dem Feldgleichung? Gar nicht. Die allgemeine Relativitätstheorie ignoriert sie völlig. Für den Spezialisten der allgemeinen Relativitätstheorie ist das Universum ein Kontinuum, nichts anderes. Die Eingangsfunktionen r und p entsprechen einer makroskopischen Beschreibung des Universums. Gleiches gilt für die Ausgabe: das Geodäten-System. Für den Theoretiker der allgemeinen Relativitätstheorie ist das Universum eine Hyperschicht, nichts anderes. Er sagt:

• Sie haben mir die Funktionen r (x,y,z) und p (x,y,z) gegeben. Ich habe für Sie die passende Hyperschicht konstruiert, die der Feldgleichung folgt. Ich habe alle möglichen Wege bestimmt: das Geodäten-System. Aber ich bin völlig unfähig, für Sie Teilchen zu konstruieren. Entschuldigung. Gehen Sie in ein anderes Department.

Zusammengefasst: die Brücke zwischen der allgemeinen Relativitätstheorie und der Welt der Elementarteilchen wartet noch auf ihren Konstrukteur.

Aber der Astronom wird sagen:

• Wer kümmert sich darum? Photonen sollen bestimmte Geodäten dieser Hyperschicht folgen. Es funktioniert: ich kann Phänomene mit optischen Instrumenten beobachten. Planeten sollen auch einen anderen Typ von Geodäten folgen. Es funktioniert auch. Ich kann ihre Bahnen berechnen, die Perihel-Präzession von Merkur vorhersagen. Es gibt auch das gravitative Linseneffekt.

Er hat Recht.

Ein paar Worte über dieses gravitative Effekt. Zunächst ist dieses Bild des stumpfen Kegels ein einfaches didaktisches Bild. Zum Beispiel kann es nicht die kreisförmigen Bahnen eines Planeten um eine Stern beschreiben: (43)

Dies zeigt einfach die Grenzen didaktischer Bilder. Wir können jedoch dieses letzte Beispiel verwenden, um das gravitative Linseneffekt zu illustrieren, mit zwei Geodäten:

(44)

Unten die mentale, euklidische Darstellung des Raums. Es gibt einen Spiegelungseffekt. Anstatt eines einzigen Objekts sieht der Beobachter zwei „gravitative Spiegelungen“.