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Koordinateninvarianter Formalismus.
Das ist ein weiteres Schlüsselwort der allgemeinen Relativitätstheorie. Wir sagten, dass die Arbeit des Kosmologen derjenigen entsprach, die darin besteht, die Form eines Materials vorherzusagen, aufgrund interner Spannungen. Nehmen Sie ein Objekt, dessen Topologie der einer Kugel entspricht. Es handelt sich um eine Metallkugel. Auch hier könnten wir sie formen, indem wir heiße und kalte Luftströme verwenden. (45)
Diese Ströme erzeugen Spannungen im Metall, was seine Form verändert. Natürlich, da die Wärme im Metall weitergeht, wenn man die Erwärmung und Kühlung stoppt, kehrt die Temperatur der Kugel zur Uniformität zurück und ihr Aussehen wird wieder regelmäßig. Wir erzeugen Spannungen im Material, was seine Geometrie verändert. Dieses Spannungsfeld kann durch ein mathematisches Objekt beschrieben werden, das als Tensor T bezeichnet wird. Die Geometrie des Objekts kann aus einer Feldgleichung berechnet werden, die der Einstein-Gleichung ähnelt. (46) S = a T, wobei a eine Konstante ist und S ein geometrischer Tensor, der die geometrischen Merkmale beschreibt. Die beste Art, die Lösung zu „lesen“, besteht darin, das Geodäten-System zu berechnen. Wir kennen die Geodäten der Kugel, aber die Geodäten eines Eies sind anders. Um diese Geodäten zu beschreiben, benötigen wir ein Koordinatensystem. Für eine Kugel können wir ein (q,j)-System verwenden: (47)
In diesem besonderen Koordinatensystem können die Geodäten der Kugel in einer besonderen Form ausgedrückt werden. Zum Beispiel die Kurven: q = konstant (Längenkreise)
sind Geodäten. Aber die Kurven
j = konstant (Breitenkreise) sind keine Geodäten dieser Fläche. Wir könnten ein ähnliches Koordinatensystem auf der Fläche „Ei“ definieren. Aber etwas ist offensichtlich: Das Geodäten-System existiert unabhängig von seiner mathematischen Darstellung (in einem gegebenen, besonderen Koordinatensystem). Das Geodäten-System ist koordinateninvariant. Ein weiteres Beispiel ist viel einfacher. Betrachten Sie die Geodäten einer ebenen Fläche. Sie sind gerade Linien. Wir können diese geraden Linien in kartesischen Koordinaten beschreiben: (48) Wir können diese Familie von Geodäten auch in Polarkoordinaten beschreiben. Dann sind die Gleichungen völlig unterschiedlich, beziehen sich aber auf dieselbe Familie gerader Linien. Diese geraden Linien, Geodäten der ebenen Fläche, existieren unabhängig von den gewählten Koordinaten. Sie sind koordinateninvariante Objekte. Die Gleichungen sind nicht eine intrinsische Eigenschaft. Ist es etwas, das sich nicht verändert, wenn wir von einem Koordinatensystem zu einem anderen wechseln? Ja: der Geodätenweg zwischen zwei Punkten M1 und M2 verändert sich nicht. Das Gleiche gilt für jede Linie, die auf der Fläche gezeichnet wird. Die Fläche, die Punkte, die Linie, die sie verbindet, existieren unabhängig von den gewählten Koordinaten. Das Gleiche gilt für die Länge des Weges zwischen M1 und M2. Dies gilt auch für einen Geodätenbogen, der eine bestimmte Linie ist, die zwei Punkte verbindet: (49) Außerdem ist dieser Geodätenweg auch ein Extremalweg (zum Beispiel der kürzeste, wie hier gezeigt). Dies gilt auch für die Raum-Zeit-Hyperebene, die ihr eigenes Geodäten-System besitzt, das ebenfalls koordinateninvariant ist. Auf dieser Hyperebene existiert eine Länge s, die zum Objekt gehört und unabhängig vom gewählten Koordinatensystem ist. Der schwierige Punkt ist, dass Raum und Zeit nicht unabhängige Größen sind. Wir leben nicht in einem 3D-Raum mit Punkten (x, y, z). Wir gehören einer 4D-Hyperebene an, die vollständig durch ihr Geodäten-System beschrieben wird. Betrachten Sie zwei verschiedene Punkte dieser Hyperebene M1 und M2. Solche Punkte können in einem gegebenen System aus vier Koordinaten beschrieben werden:
M1 ---> (x1, y1, z1, t1) M2 ---> (x2, y2, z2, t2) Diese Punkte werden als Ereignisse bezeichnet. Wir können die Geodäte berechnen, die sie verbindet, falls sie existiert. Solche Ereignisse sind nicht identisch. Zwischen ihnen können wir eine Distanz s messen, die koordinateninvariant ist. Diese Länge wird als bezeichnet:
Eigenzeit s
Angenommen, du und ich nutzen ein Raumschiff, um von einem Punkt M1 zu einem anderen Punkt M2 zu reisen, der sich in der Raum-Zeit befindet. s ist die Messung der Zeit auf unserer Borduhr.
Du wirst sagen: - Aber der Raum existiert, nicht wahr? - Sei vorsichtig. Diese Definition dessen, was wir Raum und „absolutes Zeit“ nennen, entspricht einer willkürlichen Wahl. Sie sind nur praktische Weisen, die Fläche zu „lesen“, wie wir die Gleichung der geraden Linien auf einer ebenen Fläche in zwei verschiedene Gleichungen geschrieben haben. Das einzige, was sich nicht verändert, was koordinateninvariant ist, ist das Eigenzeitsintervall Δt zwischen zwei Ereignissen, die durch ein anderes koordinateninvariantes Objekt verbunden sind: eine Geodäte. Das sogenannte „absoluten Zeit“ t ist nichts anderes als ein etwas willkürliches chronologisches Markierungssystem. Wenn Sie Ihr Koordinatensystem ändern, ändern Sie die Lesung der Ereignisse. In den Artikeln, die wir auf dieser Website präsentieren, werden Sie sehen, dass es sich um ein echtes Problem handelt. Auf jeden Fall verstehen Sie jetzt, warum Physiker und Mathematiker einen koordinateninvarianten Formalismus gewählt haben, der auf Tensoren basiert. Tensor-Form-Gleichungen sind koordinateninvariant.
Das ist der Geist der allgemeinen Relativitätstheorie. Aber, außer mit hochentwickelter Technik, ist es schwierig, Ihnen mehr darüber zu sagen.