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Das Problem der Singularitäten.
Auf einer Kugel können Sie, egal welches Koordinatensystem Sie wählen, nicht vermeiden, Singularitäten zu haben (zum Beispiel zwei polare Singularitäten):
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Beachten Sie, dass es möglich ist, eine Kugel mit nur einer „polaren Singularität“ abzubilden. Schneiden Sie die Kugel entlang dieser ersten Familie von Ebenen, die alle durch eine gleiche Gerade verlaufen:
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Dann führen Sie die zweite Familie von Ebenen ein, die ebenfalls die Kugel schneiden.
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Wenn wir diesen lokalen Problemfall außer Acht lassen, gibt es an anderen Stellen kein Problem. Beobachten Sie die Kugel von der anderen Seite, dann erhalten Sie dies:
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Allerdings sind die Werte von a und b an den Punkten S einfach nicht definiert!
Eine Kugel ist jedoch grundsätzlich eine reguläre Fläche. Drehen Sie ein Ei in Ihren Händen: Sie werden keinen besonderen Punkt, keine intrinsischen Singularitäten finden.
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Schlussfolgerung: Diese Singularitäten sind ein Artefakt, das durch die Wahl der Koordinaten entsteht.
Diese polaren Singularitäten sind nicht „real“, sie sind keine intrinsischen Singularitäten. Sie wählen ein Koordinatensystem, und dann wird ein beliebiger Punkt oder zwei Punkte singulär. Die beiden Singularitäten einer abgebildeten Kugel – der Nordpol und der Südpol – sind eine reine künstliche Erfindung, verursacht durch die Wahl des Koordinatensystems.