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Im Gegenteil existieren reale intrinsische Singularitäten auf Flächen. Es handelt sich um wahre geometrische Singularitäten:
(55)
(56)
(57)
Und so weiter...
Außerdem ist ein Falz ein besonderer Bereich einer Fläche, an dem die lineare Krümmung konzentriert ist. Auf Abbildung (57) links haben wir eine negative lineare Krümmung; rechts eine positive lineare Krümmung.
In jeder Unterkarte haben wir zwei Sphärenabschnitte verwendet. Das gesamte Objekt hat die gleiche Topologie wie die Kugel, was bedeutet, dass seine gesamte Winkelkrümmung $4\pi$ beträgt.
Angenommen, das Objekt links wurde aus zwei Sphärenabschnitten gebaut, wobei jeder eine Winkelkrümmung von $3\pi$ enthält:
$$
3\pi + 3\pi = 6\pi
$$
Das ist zu viel. Daher muss die lineare Krümmung (negativ) dies ausgleichen, um den erforderlichen Endwert $4\pi$ zu erhalten:
Zusammenfassend enthält unser Falz eine negative Krümmung von:
$$
-2\pi
$$
Diese Krümmung ist gleichmäßig entlang der kreisförmigen Kurve, entlang des Faltens, verteilt.
Zurück zu den Abbildungen (57). Wir haben Dreiecke dargestellt, die aus geodätischen Linien gebildet wurden. Aber Sie können einen Falz problemlos mit einem (schmalen) Klebeband durchqueren. Sie wissen, wie Sie die Summe der drei Winkel des Dreiecks berechnen und vorhersagen können. Sie müssen dazu nur die Fläche des Dreiecks mit der Fläche der Kugel vergleichen. Der Überschuss der Krümmung beträgt:
$$
\text{(58)}
$$
Sie müssen jedoch die Krümmung (negativ oder positiv) berücksichtigen, die in dem Teil des Faltens enthalten ist, also im Bogen $mn$. Diese Krümmung beträgt:
$$
\text{(59)}
$$
Angenommen, eine Art Linse, rechts auf Abbildung (57), wurde aus zwei Sphärenabschnitten gebaut, wobei jeder eine Winkelkrümmung von $\pi$ enthält. Wenn man den Falz ignoriert, enthält dieses Paar von Sphärenabschnitten eine Winkelkrümmung von $2\pi$. Die Linse hat jedoch eine kugelförmige Topologie; daher muss die Winkelkrümmungskontribution $2\pi$ betragen. Daher:
$$
2\pi + 2\pi = 4\pi \quad \text{(gesamte Krümmung der Kugel)}
$$
Sie können auch die Summe der Winkel dieses seltsamen Dreiecks, gebildet aus drei geodätischen Linien, vorhersagen. Der Bogen $mn$ enthält die folgende lineare Winkelkrümmung:
$$
\text{(60)}
$$
Wenn man die Menge der Winkelkrümmung misst, die im Falz innerhalb des Dreiecks enthalten ist, kann man den Abstand zur euklidischen Summe, die $\pi$ beträgt, bewerten.
Sie sehen also, dass Sie diese Krümmungsprobleme auf Flächen relativ leicht behandeln können.
Eine Fläche kann konische Punkte oder Falzlinien besitzen. Es handelt sich um intrinsische Singularitäten, nicht um diese künstlichen Singularitäten, die durch eine bestimmte Wahl von Koordinaten entstehen. Beachten Sie, dass man den Falz glätten kann; man erhält dann eine Form, die einer Erdnuss ähnelt:
$$
\text{(61)}
$$
Das entspricht dem Glätten des punktförmigen Gipfels eines Kegels (konzentrierte Winkelkrümmung), wodurch das Objekt in einen abgerundeten Kegel (Winkelkrümmung, die auf einen Teil der Kugel verteilt ist) verwandelt wird.
Angenommen, die beiden Sphärenabschnitte, die oben in Abbildung (61) dargestellt sind, entsprechen jeweils $2/3$ einer Kugel, also einer Krümmung:
$$
\text{(62)}
$$
Der graue Teil der „Erdnuss“ enthält eine negative Krümmung, genauer gesagt:
$$
\text{(63)}
$$