Falten einer ebenen Fläche und Geodäten

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Repräsentationsraum.

Wir haben in einem vorherigen Abschnitt gesehen, dass ein Zylinder flachgelegt werden kann. Nehmen Sie jetzt ein Blatt Papier, eine flache Fläche. Es ist eine euklidische Fläche. Sie können darauf Geodäten zeichnen. Falten Sie es jetzt. (64)

Wenn Sie diese gefaltete Fläche steif machen und Geodäten mit Klebeband darauf zeichnen könnten, würden Sie erneut dasselbe System wiederfinden! Die Fläche war nicht wirklich verändert worden. Wenn ein Bewohner in einem solchen „Flachland“ lebte, könnte er den Falvorgang nicht erkennen. Alles würde für ihn normal bleiben, wie es heute der Fall ist: die Geodäten seiner zweidimensionalen Raumzeitfläche verfolgen, zum Beispiel.

Das Falten des Blattes hat lediglich das repräsentative System verändert, also die Art und Weise, wie die zweidimensionale Fläche in den dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet ist.

Eine einfachere Veränderung besteht darin, eine flache Metallplatte in eine wellenförmige Fläche zu verwandeln. Siehe Abbildung (65) (65)

Viele Jahre vorher war ich in einem großen Markt in Addis Abeba, Äthiopien. Dort ist Metall selten. Man findet Werkstätten, in denen junge Männer wellenförmige Eisenplatten in flache Platten verwandeln, mit einem einfachen Hammer. Wenn einer von ihnen vor der Operation eine Geodäte gezeichnet hätte, hätten wir festgestellt, dass das Geodäten-System unverändert geblieben wäre.

Aber, um die Wahrheit zu sagen, bin ich nicht wirklich sicher, ob dieser Typ weiß, was eine Geodäte ist, aus mathematischer Sicht, selbstverständlich. Jeder, der Körbe baut, verwendet natürlicherweise Geodäten.

Ich erinnere mich, dass ich ein Lehrer für Korbwirken war, in einem Ferienlager in der Nähe von Burlington und dem Lake Champlain, Vermont ... viele Jahre her.

Behalten Sie im Gedächtnis, dass geometrische Objekte ihre eigene Existenz und Eigenschaften haben, unabhängig davon, wie Sie sie in einem Raum mit einer höheren Anzahl von Dimensionen darstellen. Gefaltet oder nicht, ein Blatt bleibt ein Blatt, also eine euklidische Fläche.

Wir sind dazu bestimmt, in einer vierdimensionalen Hyperfläche zu leben. Wir alle leben auf die gleiche Weise, sozusagen. Aber meine Frau Claire, die eine sehr charmante Person ist, ist überzeugt, dass ich in einem Raum mit mehr Dimensionen lebe (fünf, glaubt sie). Das führt manchmal zu Kommunikationsproblemen, wenn ich in meiner persönlichen fünften Dimension bin.

Aber leben Frauen wirklich in einer vierdimensionalen Hyperfläche? Manchmal zweifle ich daran, aber das ist eine andere Frage.

Stellen Sie sich vor, Sie leben in einer vierdimensionalen Hyperfläche und folgen den Geodäten dieser Raumzeit, wie ein Ochse seinem Pflug folgt.

Nehmen Sie jetzt an, Sie sind Gott. Sie wollen eine vollständige Darstellung dieser vierdimensionalen Hyperfläche. Dann benötigen Sie mindestens eine weitere Dimension. Persönlich glaube ich, dass, wenn Gott existiert, er in einer zehndimensionalen Hyperwelt lebt. Die folgenden Argumente werden in der Geometrischen Physik B entwickelt und stammen aus der Gruppentheorie.

Besitzt Gott eine Gruppenstruktur?

Praktisch berechnet der Spezialist der allgemeinen Relativitätstheorie eine Lösung einer Feldgleichung (die Einstein-Lösung). Dann untersucht er das Geodäten-System. Sie sind „gerade Linien in 4D“. In der Raumzeit, wenn Sie den Geodäten folgen, ist die allgemeine Ordnung:

• Gehen Sie geradeaus! Drehen Sie nicht nach links oder rechts.

Sie folgen, einfach weil Sie nichts anderes tun können. Drehen ist in der Raumzeit Unsinn. Alles, jeder „geht geradeaus“.

Aber Dinge, Bahnen, Wege erscheinen uns aus der Sicht der 3D-Welt gekrümmt. Wir lesen sie in unserer mentalen Darstellung des Raumes. Wir stehen vor der Wand der Höhle Platons, schauen auf tanzende 3D-Schatten.

Gehen wir zurück zu unserem 2D-didaktischen Bild, dem stumpfen Kegel. Er soll den Raum in der Nähe einer Massenkonzentration (graue Fläche) darstellen. Wir nehmen an, dass es sich um einen stationären Zustand handelt.

Wir können sphärische Koordinaten (r, q, j) als räumliche Markierungen (in 3D) verwenden. In 2D haben wir nur zwei: (r, q).

Dann können wir das Bild auf eine Ebene projizieren und die gleichen Polarkoordinaten verwenden. Siehe folgende Abbildung.

(66)

Wie oben erwähnt, ist die Oberfläche des stumpfen Kegels ein grobes didaktisches Modell, das eine besondere Lösung der Einstein-Feldgleichung vorschlägt

(67) S = c T

die 1917 von Schwarzschild gebaut wurde. Dies ist eine brillante und kluge Arbeit. Nur um zu sagen, dass zu dieser Zeit Albert nicht ein isolierter Genie war, verloren auf einer einsamen Insel. Viele Leute denken, dass der große deutsche Mathematiker Hilbert die „Einstein-Gleichung“ erfunden hat. Andere haben vorgeschlagen, dass Frau Einstein effektiv zur Konstruktion der speziellen Relativität beigetragen hätte, die sich natürlich aus den Arbeiten von Poincaré und Lorentz ergibt (wenn Sie sich die Arbeiten von Einstein ansehen, werden Sie sehen, dass er selten andere erwähnt).

Die Schwarzschild-Lösung ist ein Meilenstein der allgemeinen Relativitätstheorie. Sie wird verwendet, um die relativistischen Bahnen der Planeten um die Sonne zu berechnen und die Perihel-Präzession von Merkur zu zeigen.

Jeder würde sofort sagen:

• Warum hat Schwarzschild das nicht selbst berechnet?

Es gab einen sehr guten Grund dafür: Er war tot.

Schwarzschild war ein Patriot und bestand darauf, 1917 an die Front zu gehen. Dort wurde er vergast und starb später. Einstein setzte die Arbeit fort, die zu „der Einstein-Theorie“ wurde.

Es war eine stationäre Lösung. Später versuchte Einstein, ein Modell des Universums zu bauen, in dem die Krümmung mit der Energie-Materiedichte identifiziert werden konnte. Aber zu dieser Zeit wusste niemand, dass das Universum nicht stationär war. Albert versuchte, ein stationäres Modell zu bauen, aber es lief nicht gut. Dann besuchte er Elie Cartan, einen großen französischen Mathematiker, der ihm riet, eine Konstante in die Feldgleichung zu addieren, was Einstein tat.

Dann erfand ein russischer Segelflieger namens Friedmann eine nicht-stationäre Lösung. Zu dieser Zeit entdeckte Edwin Hubble den Rotverschiebungseffekt und die nicht-stationären Merkmale des Universums. Einstein war sehr enttäuscht und sagte:

• Wenn ich gewusst hätte, dass das Universum nicht stationär ist, hätte ich die Lösung vor Friedmann gefunden!

Wenn die Lakedemonier so sagten.

Aber diese Geschichte endete nicht dort. Zunächst hatte Friedmann die zyklische Lösung gebaut, eine der drei, die die „Friedmann-Modelle“ bilden.

Einstein blieb jahrelang still. Dann, nach dem Tod von Friedmann, veröffentlichte er das „Einstein-de Sitter-Modell“, die „parabolische Friedmann-Lösung“.

Später ein junger polnischer Forscher namens Kaluza reichte einen Artikel an „Professor Einstein“ ein, der für mehr als ein Jahr abgelehnt wurde. Kaluza protestierte bei Einstein, der antwortete:

• Sie sollten diese Theorie genauer betrachten. Ich bin skeptisch...

Jahre später wurde Kaluzas Idee (eine fünfte Dimension zum Raum-Zeit hinzufügen) zum Ausgangspunkt fortgeschrittener Werke (einschließlich der Superstring-Annäherung). Siehe Geometrische Physik B.

Nun, Albert war nicht so sportlich...

Gehen wir zurück zum stationären 3D-Modell, das der Raum-Zeit-Geometrie um die Sonne entspricht. Die Berechnung ergibt Geodäten, die in Ebenen liegen. Wenn der Krümmungseffekt moderat ist und die Geschwindigkeit gering im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit c, entspricht ihre Projektion in einem repräsentativen euklidischen Raum-Zeit den annähernd keplerischen Bahnen und den Kepler-Gesetzen. Wir können die Zeit ignorieren und diese Geodäten in Ebenen darstellen, mit Polarkoordinaten.

r = f (q).

In der Schwarzschild-Lösung gibt es tatsächlich zwei verbundene „Metrik-Lösungen“, wie in Abbildung (68) erwähnt. Innerhalb des „massiven Körpers“ wird die Massendichte r als konstant angenommen. Dort ist der Energie-Materietensor T nicht null. Aber außerhalb sind r und T null.

(68)

Es handelt sich um eine zusammengesetzte Geometrie. In 3D zeigt die Massendichte eine plötzliche Diskontinuität an der Oberfläche (angenommen, es ist eine Kugel) der „Massenkonzentration“. Dies ist ähnlich der Diskontinuität der Winkelkrümmungsdichte an der Oberfläche (nicht null in der grauen Fläche, null außerhalb). Die Grenze wird zu einer S1-Kugel, also zu einem ... Kreis.

In 4D kann der mathematische Zusammenhang hergestellt werden, um die Kontinuität der Geodätenlinien zu gewährleisten. Dies ist ähnlich dem Verbindungsteil eines Kugelabschnitts oder eines Posikons.

Wenn die Masse groß wird (was nicht durch unser grobes 2D-didaktisches Modell beschrieben werden kann), sind die geschlossenen Bahnen nicht mehr elliptisch.

Siehe Abbildung (69). Dieses Bild entspricht der Bahn eines Raumfahrzeugs um einen Neutronenstern.

Die Bahn von Merkur um die Sonne ist ähnlich, aber die Perihel-Präzession der elliptischen Bahnen beträgt 0,15° pro Jahrhundert.

(69)

Eines Tages werden wir die Formeln und das Programm hinzufügen, mit dem man dieses Problem spielen kann. Es ist nicht sehr schwierig.

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