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Geometrischer Kontext.****
Eine Kugel ist ein zweidimensionales geometrisches Objekt. Wir benötigen zwei Größen, zwei Zahlen, zwei Skalare, um einen Punkt darauf zu lokalisieren.
Eine Kugel ist eine Fläche, die eine Topologie besitzt. Ihre Topologie ist anders als die des Torus.
Beide besitzen geodätische Systeme. Wie in einer vorherigen Abschnitt erwähnt, können wir uns zwei verschiedene Punkte M1 und M2 auf einer Kugel und eine Kurve vorstellen, die diese beiden Punkte verbindet. Dann können wir die Länge entlang dieses speziellen Weges messen. Es handelt sich um eine koordinateninvariante Größe. Eine S²-Kugel existiert unabhängig von einem 3D-Repräsentationsraum. Wir können sie jedoch in unserem vertrauten euklidischen 3D-Raum darstellen, in dem wir leben. Dann können wir ihr einen Mittelpunkt zuweisen und alle ihre Punkte mit diesem Mittelpunkt verbinden. Siehe Abbildung (116). Jeder Punkt entspricht zwei Winkeln: q und j.
(116)
Wir haben ein Loch in der Kugel gebohrt, um die Vektoren OM zu zeigen, wobei O der Mittelpunkt und M ein Punkt der Kugel ist.
Nun behält Abbildung (117) die Vektoren bei und vergisst die Kugel.
(117)
Diese Halbgeraden sind unendlich, aber wir haben sie abgeschnitten, bei einer bestimmten Länge, die dem Radius R unserer Kugel entspricht. Jede Gerade entspricht einem Paar (q, j). Die metrische Struktur ist verschwunden. Keine Geodäten, keine Länge. Was bleibt?
Jede dieser Halbgeraden hat Nachbarn, die ihren Nachbarschaftsbereich bilden. Jede Halbgerade kann sich als in eine Reihe von Kegeln eingeschlossen (Abbildung (118)) vorstellen.
(118)
Um jede Gerade können wir so viele Kegelreihen wie gewünscht platzieren. Zwischen zwei dieser Kegel können wir immer einen weiteren einfügen. Dies deutet intuitiv den Begriff der Differenzierbarkeit an. In solch einem geometrischen Objekt gibt es keine Diskontinuität.
Nun vergessen wir die Kugel und nehmen eine ebene Fläche. Es ist eine Menge von Punkten. Welches Koordinatensystem ich auch wähle, ich kann die Punkte mit zwei Größen definieren: (x, y), (r, q), usw.
Ein Paar reeller Zahlen. Diese Paare werden aus R², also aus der Menge der reellen Zahlen, wie (3,8705, -17,56) ausgewählt.
Jedes Paar reeller Zahlen (x; y) hat eine unendliche Anzahl von Nachbarn (x + Dx; y + Dy).
Diese „prämetrischen“ Objekte bezeichnet man in der Mathematik als Mannigfaltigkeiten.
Es ist ziemlich schwierig, sich einen solchen „flexiblen“ Raum vorzustellen. In Abbildung (119) haben wir eine starre, ebene Fläche dargestellt, die metrische Eigenschaften besitzt, und darunter den Schatten ihrer Punkte.
(119)
Ein Schatten hat keine eigene Form, noch Ausdehnung. Er hängt von dem Bildschirm und der Lichtstrahlproduktion ab. Auf Abbildung (120) schlagen wir die Relativität des Schattens im Verhältnis zum Objekt vor.
(120)
Diese „parallelen Linien“ sind ähnlich den Strahlen, die wir eingeführt haben, um die Punkte einer Kugel mit ihrem Mittelpunkt zu verbinden. Hier werden die Punkte der Ebene mit einer „Quelle“ in der Unendlichkeit „verbunden“.
Geben Sie diese letzte Idee von geraden Linien auf. Betrachten Sie ein Bündel gekochter Spaghetti (wenn sie nicht gekocht sind, sollten sie steif und brüchig sein). Wir können sie biegen. Aber wir verlangen, dass die Spaghetti zusammengehalten werden. Ihr Nachbarschaftsbereich darf nicht verändert werden.
(121)
All das ist sehr grob, ich weiß, und nicht vollständig streng. Ich versuche nur, dem Leser zu vermitteln, was eine Mannigfaltigkeit ist, ein geometrisches Objekt ohne Metrik, dessen Haupteigenschaft ist, dass jeder Punkt Nachbarn besitzt.
Eine Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten m. Ich kann mir vorstellen, dass ich jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Paar (M1, M2) von Punkten zuordne, die zu realen Flächen gehören, die metrische Eigenschaften, Längen usw. besitzen.
Ich nenne eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit eine Knochenmannigfaltigkeit und die zugehörigen n-dimensionalen Flächen einfach Falten. Dann baue ich den Zweifaltentwicklungsraum einer Mannigfaltigkeit.
Auf Abbildung (122) befindet sich der Zweifaltentwicklungsraum einer Mannigfaltigkeit m2 (zwei Dimensionen).
(122)
In Abbildung (122) habe ich identische, parallele euklidische Faltungen (Ebenen) mit derselben Metrik dargestellt. Aber ich kann Abbildung (123) erstellen:
Wir nennen M und M* konjugierte Punkte. Das Erstellen dieser beiden Faltungen aus einer „Knochenmannigfaltigkeit“ hat einen klaren Sinn: Zu jedem Punkt M der Faltung F können wir einen und nur einen konjugierten Punkt M* zuordnen. Es gibt eine Punkt-zu-Punkt-Abbildung. Dann können wir die Knochenmannigfaltigkeit vergessen.
Dem Umkreis eines jeden Punktes der Faltung F entspricht der Umkreis seines konjugierten Punktes M*. Siehe Abbildung (124). Das bedeutet, dass jeder regulären Region von F eine konjugierte reguläre Region entspricht, die zu F* gehört.
(124)
Dies zeigt insbesondere, dass die konjugierten Punkte M und M* durch dasselbe Koordinatensystem beschrieben werden.