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Konjugierte Krümmungen.****
Wie können wir 3D-Räume mit lokaler positiver oder negativer Krümmung verstehen?
Beginnen Sie mit 2D-Flächen. Betrachten Sie eine Kugel und befestigen Sie einen Nagel an einem beliebigen Punkt darauf, wie in Abbildung (125) gezeigt. Befestigen Sie ein Seil mit der Länge L, das den Nagel mit einem Stift verbindet. Damit können Sie einen Kreis, einen Parallelen der Kugel zeichnen. Ein Parallelen der Kugel ist die Menge der Punkte, die sich in der gleichen Entfernung L von einem gegebenen Punkt S befinden.
Wir können ähnliche Operationen durchführen (Abbildungen (125)):
- Auf einer Sattelfläche
- Auf einer Ebene.
(125)
Auf einer ebenen Fläche beträgt der Umfang 2πL, während die Fläche des Kreises πL² ist.
Auf der Kugel sind Umfang und Fläche des Kreises kleiner. Im Gegensatz dazu sind sie auf der Sattelfläche größer.
Betrachten Sie eine Kugel und einen Parallelen, der ihrem Äquator entspricht. Siehe Abbildung (126). Die Werte entsprechen Abbildung (126).
(126)
Die Fläche des Kreises ist 3,875-mal größer als die entsprechende (graue) Fläche der Kugel. Sein Umfang ist 1,57-mal länger als die Länge des Äquators.
Ähnliche Tests würden die negative Krümmung der Sattelfläche zeigen. Wenn wir eine geschlossene Kurve, also die Menge der Punkte, die sich in der gleichen Entfernung L von einem gegebenen Punkt befinden, auf einer Sattelfläche zeichnen, ist die Fläche dieses Kreises mit negativer Krümmung größer als die Fläche eines flachen Kreises πL². Ebenso ist der Umfang des Kreises mit negativer Krümmung größer als der Umfang des flachen Kreises: 2πL.
Geometrie ist eine Wissenschaft für Blinde. Geometer versuchen, Tests zu konstruieren, die Einwohner eines gegebenen Raumes durchführen können, um selbständig dessen geometrische Eigenschaften zu entdecken. Aus den vorangegangenen Abbildungen können die Einwohner einer zweidimensionalen Fläche, die diese nicht aus einem äußeren Punkt sehen können (da sie darin leben), durch Messungen von Fläche und Länge herausfinden, ob die Fläche, in der sie leben, eine lokale positive Krümmung, eine lokale negative Krümmung oder eine lokale Nullkrümmung (euklidischer Raum) besitzt.
Beachten Sie, dass es Flächen gibt, deren lokale Krümmung positiv, null oder negativ sein kann. Beispiel: ein Torus.
(126ter)
Ähnliche Methoden gelten für 3D-Räume. Wählen Sie einen Punkt O, irgendwo. Nehmen Sie ein Seil, einen „Stift“ und verwenden Sie es, um die Menge der Punkte zu zeichnen, die sich in einer gegebenen Entfernung L vom betrachteten Punkt befinden. Sie erhalten eine Kugel und können deren Fläche messen. Wenn diese Fläche in einem euklidischen 3D-Raum konstruiert wurde, beträgt diese Fläche: 4πL².
Wenn diese Fläche kleiner gefunden wird, bedeutet dies, dass dieser 3D-Raum nicht euklidisch ist. Es handelt sich um einen 3D-Raum mit positiver Krümmung im Sinne von Riemann. Wenn wir das Volumen messen, stellen wir fest, dass es kleiner ist als:
(127)
Die Situation wird umgekehrt, wenn wir mit einem 3D-Raum mit negativer Krümmung arbeiten. Die Fläche der Kugel, die als Menge der Punkte definiert ist, die sich in einer gegebenen Entfernung L von einem festen Punkt O befinden, ist größer als 4πL². Das Volumen innerhalb dieser geschlossenen Fläche ist größer als (127).
Die Kosmologie beruht nicht auf einfachen 3D-Räumen, sondern auf 4D-Hypersurfaces (mit „hyperbolischer Signatur“), weshalb diese Darstellung begrenzt ist. Wir müssen sie als grobes didaktisches Modell betrachten.
Die skalare Krümmung von Riemann eines n-dimensionalen Raumes ist etwas anders.
In unserem aktuellen kosmologischen Modell nehmen wir an, dass die lokale skalare Riemannsche Krümmung an konjugierten Punkten (M, M) entgegengesetzt sind:
*(127bis)
R* = - R
Der Spezialist findet weitere Details im Artikel:
J.P. Petit & P. Midy: Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, März 1998.
Als nächstes eine nützliche didaktische Abbildung in 2 Dimensionen, die der Abbildung 39 entspricht.
(128)
Oben: ein geglätteter Posicone. Lokale (winkelhafte) Krümmung null in der Posicone-Teilfläche. Konstante positive (winkelhafte) Krümmungsdichte in der (grauen) Teilfläche einer Kugel.
Unten: ein „geglätteter Negacone“. Konstante negative (winkelhafte) Krümmungsdichte in der Negacone-Teilfläche, die die Sattelfläche umgibt. Konstante negative (winkelhafte) Krümmungsdichte in der Sattelflächen-Teilfläche, die der Teilfläche einer Kugel gegenüberliegt.
Die Krümmungen sind konjugiert. Frontal, mit punktweiser Zuordnung, die Bereiche mit lokaler Nullkrümmung des Posicones und Negacones.
Frontal, mit punktweiser Zuordnung, eine Fläche mit konstanter positiver Krümmung (ein Teil einer Kugel) und eine Fläche mit negativer Krümmung (Sattelfläche). Die Krümmungsdichten sind gleich und entgegengesetzt. Die kreisförmigen Ränder sind punktweise verbunden.
Dies ist eine didaktische Abbildung unseres kosmologischen Modells. Für weitere mathematische Details siehe:
J.P. Petit & P. Midy: Matter ghost-matter astrophysics. 1. The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, März 1998.