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Geodäten.
...Im Folgenden befassen wir uns mit zweidimensionalen Flächen. Warum ist eine Fläche ein zweidimensionales Objekt? Weil man zwei Parameter benötigt, um einen Punkt darauf zu verorten. Beispiel: Längen- und Breitengrad auf der Erde.
...Das sind Dinge, die man besser mit den Händen als mit dem Kopf versteht. Versuchen Sie, einige Dinge herauszufinden, bevor Sie diesen Text lesen. Sie benötigen:
- Papier, sowohl fest als auch flexibel.
- Farbigen Klebestreifen.
- Eine Schere.
...Mit dieser Art von farbigem Klebestreifen können Sie Bänder konstanter Breite herstellen.
(6)
...Nehmen Sie eine beliebige Oberfläche, zum Beispiel die Karosserie Ihres Autos. Sie können den Klebestreifen darauf kleben und dabei sorgfältig Falten vermeiden. So erhalten Sie Geodäten dieser Oberfläche. Davon gibt es unendlich viele auf der Karosserie Ihres Autos.
Sie können dies auch auf einer flachen Platte tun. Dann erhalten Sie die „geraden Linien Ihrer Ebene“.
„Gerade Linien“ sind nur besondere Geodäten, nämlich die auf der Ebene.
(7)
Mit drei Geodäten bilden Sie ein Dreieck auf dieser „euklidischen Oberfläche“. Dann ist die Summe der drei Winkel 180°.
Posikonen.
...Nun bauen wir ein „Posikon“, eine Art „positiven Kegel“. Nehmen Sie einfach ein Stück Papier, eine flache Oberfläche, und schneiden Sie mit der Schere einen Sektor aus. Dann fügen Sie die Linien SA und SB zusammen, wie in der nächsten Abbildung dargestellt.
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...Nun zeichnen wir mit unserem Klebestreifen drei geodätische Linien auf diese Oberfläche, wie in Abbildung (9) gezeigt. Wir können die Summe der drei Winkel messen und finden zwei Fälle vor:
Wenn das Dreieck die Spitze S dieses Posikons nicht enthält, beträgt die Summe weiterhin 180°.
Wenn es die Spitze enthält, unabhängig davon, wie es um sie herum angeordnet ist, ob klein oder groß, beträgt die Summe: 180° + q.
(9)
Um dies zu verstehen, können Sie Ihr Posikon aufschneiden und flach ausbreiten. Dann erscheint Ihr Winkel q deutlich.
(10)
...Sie können leicht überprüfen, dass die beiden Geraden AH und SH sowie SH' einen Winkel von q bilden.
...Ein Kegel ist eine Oberfläche, die sich nach einem Schnitt entlang einer Linie durch die Spitze flach ausbreiten lässt. Im Französischen sagt man, dass es sich um eine „développable“ Oberfläche handelt, aber ich finde das englische Wort nicht in meinem Wörterbuch. Dasselbe gilt für einen Zylinder.
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...Sie können mit Ihrem Klebestreifen geodätische Linien auf einen Zylinder zeichnen. Aber nachdem Sie den Schnitt vorgenommen und den Zylinder flach ausgebreitet haben, werden Ihre geodätischen Linien zu... geraden Linien.
Sie können solche Oberflächen (Kegel, Zylinder) auch auf einer Ebene abrollen. Siehe nächste Abbildung.
(12)
...Sie können mit Tinte eine Geodäte auf einen Kegel oder Zylinder zeichnen und ihn dann auf einer Ebene abrollen, wobei Sie ihn als Druckstock verwenden. Auf Ihrer Ebene drucken Sie dann gerade Linien.
...Umgekehrt, wenn Sie gerade Linien auf Ihrer Ebene zeichnen und den Kegel oder Zylinder darauf abrollen, bevor die Tinte trocknet, drucken Sie Geodäten darauf.
