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(Positive) Krümmung.

Wenn wir mit unserem Klebeband ein Dreieck auf einer Ebene zeichnen, beträgt die Summe der Winkelwerte 180°. Dies ist eine euklidische Fläche. Wir sagen, dass sie keine Krümmung enthält. Sie ist tatsächlich eine flache Fläche. Die Winkelsumme unseres Dreiecks ist die euklidische Summe. Als wir das Dreieck auf unserem Kegel, unserem „Posikonus“, zeichneten und der Scheitelpunkt S außerhalb lag, betrug die Summe weiterhin 180°. Umgekehrt war die Summe, wenn der Scheitelpunkt innerhalb lag, 180° plus dem Winkel q (dem Ausschnitt, den wir zur Konstruktion unseres Posikonus verwendet haben, siehe Abbildung (8)).

Dieser Scheitelpunkt ist ein besonderer Punkt der Oberfläche, ein konischer Punkt, und wir sagen, dass er eine gewisse (positive) konzentrierte Krümmung enthält. Es handelt sich um einen Punkt konzentrierter (positiver) Krümmung.

Nun können wir zwei Schnitte vornehmen, die den Winkeln q1 und q2 entsprechen. Siehe Abbildung (13). Dann erhalten wir eine seltsame Oberfläche mit zwei konischen Punkten S1 und S2. Siehe Abbildung (14).

(13)

(14)

Nun können Sie so viele geodätische Dreiecke zeichnen, wie Sie möchten, die verschiedenen Fällen entsprechen.

• Wenn sie keinen konischen Scheitelpunkt enthalten, beträgt die Winkelsumme 180°.

• Wenn sie den Scheitelpunkt S1 enthalten, beträgt die Summe 180° plus q1.

• Wenn sie beide Scheitelpunkte, q1 und q2, enthalten, beträgt die Summe 180° + q1 + q2.

(15)

Stellen Sie sich nun vor, Sie könnten eine große Anzahl winziger Posikoni herstellen und sie zusammenkleben, wie in Abbildung (16) dargestellt. Jeder winzige Posikonus entspricht einem elementaren Winkel Dq. Sie können diese Mini-Kegel regelmäßig anordnen. Ich meine: Der Abstand zwischen einem Scheitelpunkt und den Scheitelpunkten der benachbarten Mini-Kegel wäre überall nahezu konstant.

(16)

Wenn Ihre Mini-Kegel immer kleiner werden, ebenso wie ihre zugehörigen elementaren Winkel Dq, bauen Sie einen Abschnitt einer regelmäßigen Oberfläche mit konstanter Krümmungsdichte auf.

Eine Kugel ist eine Oberfläche mit konstanter lokaler Krümmungsdichte. Einfacher ausgedrückt sagt man, dass die Kugel eine Fläche mit konstanter Krümmung ist.

Wenn Sie Ihre Mini-Kegel anders anordnen, können Sie eine Oberfläche mit variabler lokaler Krümmungsdichte bauen. Zum Beispiel ein Ei. Das Ei einer Henne ist eine Oberfläche mit variabler lokaler Krümmungsdichte. Aber ein Tischtennisball ist eine Oberfläche mit konstanter Krümmungsdichte. Deshalb erkennt die Henne ihr Ei und unterscheidet es vom Tischtennisball. Sie zeichnet Geodäten mit Klebeband und so weiter...

Tatsächlich stellt die Henne die Geodäten nicht physisch auf dem Objekt dar. Sie tut dies mental.

(17)

In der allgemeinen Relativitätstheorie identifiziert man die Massendichte r mit der lokalen Krümmung.

Natürlich ist der Handlungsrahmen der allgemeinen Relativitätstheorie keine 2-dimensionale Oberfläche. Sie können sich eine 3-dimensionale Hyperfläche vorstellen. Sie können sich eine 3-dimensionale Hypersphäre vorstellen. Aber wer kann sich eine 4-dimensionale Hyperfläche vorstellen?

Übrigens weist die 4-dimensionale Krümmung der 4-dimensionalen Hyperfläche, die „Universum“ genannt wird, besondere Eigenschaften auf, die wir hier nicht untersuchen werden. Dies zeigt, dass didaktische Modelle begrenzt sind. Aber sie sind gut geeignet, um die Vorstellungskraft anzuregen und den Geist für etwas andere Welten zu öffnen.