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Didaktisches Bild eines Himmelskörpers (Stern, Planet, dichtes Ei)

Ein Stern wie die Sonne ist eine Massenkonzentration. Drumherum: die Leere oder ein Teil des Raums, der „fast leer“ ist, denn er enthält sehr verdünntes Gas und Photonen. In 2D ist das entsprechende didaktische Bild ein stumpfer (posi) Kegel:

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Man kann es aus zwei Komponenten herstellen. Ein Teil einer Kugel und ein Teil eines (posi) Kegels, zusammengeklebt. Der Teil einer Kugel ist eine Fläche konstanter Krümmungsdichte. Der Teil des Kegels ist eine flache Fläche, eine Fläche mit lokaler Krümmungsdichte null. Dieses letzte Beispiel ist eine euklidische Fläche. Der Teil der Kugel ist eine nicht-euklidische Fläche (eine riemannsche Fläche).

Dies ist das 2D-didaktische Bild eines Objekts konstanter Dichte r, umgeben von Leere.

Wie fügt man die beiden Elemente zusammen, um die Stetigkeit der Tangentialebene zu gewährleisten? Es ist einfach. Ihr Kegelteil stammt von einem Kegel, dessen Schnitt einem Winkel q entsprach. Ihr Kugelteil soll aus elementaren Mini-Posikonen aufgebaut sein, sodass er einen bestimmten „Betrag an Winkelkrümmung“ q enthält. Wenn die beiden Winkel gleich sind, wird die Tangentialebene stetig sein.

Aber wie misst man den Betrag an Krümmung, der in einem gegebenen Kugelteil enthalten ist?

Gesamtkrümmung.

Wir können eine Fläche bauen, indem wir elementare Posikonen zusammenfügen. Wir können es so einrichten, dass wir eine Fläche konstanter Krümmungsdichte erhalten. Dann wissen wir, dass die Fläche ein Teil einer Kugel ist. Wenn wir immer mehr elementare (Posi)Kegel hinzufügen, wird diese Kugel vollständig sein. Sie enthält einen bestimmten Betrag an Winkelkrümmung. Alle Kugeln enthalten denselben. Die gesamte Winkelkrümmung eines Ping-Pong-Balls und die gesamte Winkelkrümmung der Erde sind gleich, obwohl sie ein sehr unterschiedliches Gewicht haben.

Übrigens ist die Gesamtkrümmung eines Eis dieselbe, denn sie haben dieselbe Topologie. Im Prinzip legen Hennen Eier mit sphärischer Topologie. Persönlich habe ich noch nie ein Ei mit toroidaler Topologie gesehen. Es würde irgendeiner seltsamen Schlange ohne Kopf und ohne Schwanz entsprechen, oder so etwas Ähnlichem.

Kehren wir zu Ping-Pong-Bällen zurück, normalen Kugeln. Wenn diese Fläche eine konstante lokale Winkeldichte hat, bedeutet das, dass der Betrag an Winkelkrümmung (die Summe der elementaren Winkel Dq) proportional zur Fläche sein wird. Siehe Abbildung 19. Diese Fläche kann durch jede Art von Rand begrenzt werden. Aber wir können Geodäten der Kugel verwenden. Nennen wir S die Fläche der Kugel und s die graue Fläche innerhalb des Dreiecks.
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Oben sahen wir, dass die (positive) Abweichung von der euklidischen Summe (180°) für ein auf einer Fläche gezeichnetes Dreieck von der Anzahl der Kegelspitzen abhängt, die sich im Inneren befanden. Die Summe war 180° plus all die Winkel, die diesen eingeschlossenen Spitzen entsprachen.

Umgekehrt kann ich, wenn ich die Abweichung von der euklidischen Summe messe, den Betrag an Krümmung messen, der im Inneren des Dreiecks enthalten ist.

Eine Geodäte einer Kugel wird Großkreis der Kugel genannt. Siehe Abbildung (20). Meridiane, Äquator, sind Großkreise der Kugel.
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Wir können unsere Kugel in acht flächengleiche Stücke schneiden. Siehe Abbildung (21). Wir erhalten acht Dreiecke, deren Winkel alle 90° betragen. Dann ist die Abweichung von der euklidischen Summe 90°. Jedes dieser Dreiecke enthält eine Winkelkrümmung von 90°. Als Schlussfolgerung ist die Gesamtkrümmung, die gesamte Winkelkrümmung der Kugel, 8 x 90° = 720° = 4 p.

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Jedes graue Dreieck enthält p/2.

Gefallen Ihnen gekrümmte Flächen, riemannsche Flächengeometrie?

Wenn wir zu unserem stumpfen Kegel zurückkehren, sehen wir, dass die Winkelkrümmung im Inneren des kreisförmigen Randes enthalten ist, im Bereich konstanter Krümmungsdichte. Die Kegelflanke, die Wand, ist keine begrenzte Fläche. Man kann sie ins Unendliche erweitern, wenn man will. Der Betrag an Winkelkrümmung hängt nicht vom Umfang des Randes ab, von der Fläche des Kugelteils. Diese letzte kann reduziert werden. Siehe Abbildung (22). Sogar auf einen einfachen Punkt reduziert, wird sie denselben Betrag an Winkelkrümmung enthalten. Deshalb sagen wir, dass ein konischer Punkt ein konzentrierter Krümmungspunkt war. Umgekehrt können wir glatte Flächen mit einer Menge konischer Punkte bauen.

Materie besteht aus Atomen. Atome können als punktförmige Objekte betrachtet werden. Sie sind „konzentrierte Krümmungspunkte“ im 3D-Raum.

Die Luft, die Sie atmen, ist ein Medium konstanter Dichte. Sie besteht aus Molekülen, Atomen. Sie ist eine Menge konzentrierter Krümmungspunkte, verbunden durch euklidische Teile des Raums. Sie assimilieren das an ein Medium konstanter Krümmung.

Denken Sie das nächste Mal daran, wenn Sie atmen. .

(22)