| 6 |
Negakonen.
Bauen wir nun, was wir eine „Negakon“ nennen wollen. Um eine Posikon zu bauen, haben wir einen Sektor aus einer Ebene entfernt. Hier fügen wir einen hinzu, entsprechend einem Winkel q:
(30)
Auf dieser Fläche können wir geodätische Linien mit unserem Klebeband zeichnen und mit drei von ihnen ein Dreieck bilden. Wenn Sie die Summe der Winkel messen, werden Sie sehen, dass sie 180°-q beträgt. Wir werden sagen, dass sie eine negative Krümmungskonzentration definiert.
Es gibt Objekte mit negativer Krümmung in Ihrem Zuhause. Zum Beispiel einige Sitze: (30 bis)
Wenn wir eine Scheibe nehmen, erhalten wir die Abbildung (31):
(31)
Wenn das aus den drei Geodäten zusammengesetzte Dreieck natürlich nicht den Gipfel S enthält, der die gesamte (negative) Winkelkrümmung enthält, wird die Summe die euklidische Summe sein: 180°.
Der Pferdesattel.
Sie können eine große Anzahl elementarer Negakonen mit dem Winkel - Dq bauen und sie verbinden. Sie können das tun, um einen nahezu konstanten Abstand zwischen zwei benachbarten Gipfeln zu erhalten. Dann würden Sie eine Fläche mit konstanter negativer Krümmungsdichte bauen: einen Pferdesattel. Aber diese Fläche wird nie geschlossen werden.
Im Allgemeinen nennt der Geometer sie eine Fläche konstanter negativer Krümmung.(32)
„Stumpfe Negakon“.
In einem vorhergehenden Abschnitt haben wir unter Verwendung einer Fläche mit konstanter positiver Krümmungsdichte (ein Teil einer Kugel) und eines Teils einer Posikon eine stumpfe Posikon gebaut.
In ähnlicher Weise können wir bauen, was wir eine stumpfe Negakon nennen werden. Wir müssen einen Pferdesattel mit einem Teil einer Negakon entlang ihrer gemeinsamen kreisförmigen Grenze verbinden. Um die Stetigkeit der Tangentialebene zu bewältigen, muss die im Pferdesattel enthaltene (negative) Krümmung gleich der negativen Krümmung sein, die am Bau der Negakon beteiligt ist.
Es ist relativ einfach, den erforderlichen Teil einer Negakon zu bauen!
(33)
NB: Wie die Posikon kann die Negakon als Druckmatrix verwendet werden. Aber wir können kaum sehen, wie man eine Negakon auf einer flachen Ebene abrollen kann. Es ist daher einfacher, die Ebene auf einer Matrix negativer Krümmung abzurollen.
Gutemberg erfand die Drucktechnik. Ein Reliefdesign wird in eine Ebene geschnitten. Dann bringt man Tinte darauf auf und drückt es auf eine Ebene.
Später wurde die Druckmatrix für den Zeitungsdruck (Rotationspresse) in einen Zylinder umgewandelt.
Aber niemand, soweit ich weiß, verwendete die konische Presse.
In allen Fällen ist der wichtige Punkt, die beiden Flächen in Kontakt zu bringen, was auch immer man tut. Entweder bewegt man die Matrix, oder man rollt das Papier (die ebene Fläche) ab.
Wie in Abbildung (34) gezeigt, können Sie eine konische Matrix verwenden, um etwas auf eine Ebene zu drucken. Eine konische Zeitung, flach hingelegt.
(34)
Es ist nicht endgültig sicher, dass niemand das eines Tages verwenden wird. Angenommen, Sie wollen Kleider mit einem speziellen Design produzieren, das der konischen Symmetrie entspricht. Angenommen, Sie müssen Tausende solcher Kleider produzieren. Sie könnten das ursprüngliche Design in eine konische Matrize gravieren und sie dann verwenden, um auf das Material oder den Stoff zu drucken. Der Kunde könnte es kaufen und das „konische“ Kleid herstellen, wobei er sicher sein kann, dass das erhaltene Muster überall gut wäre.
In Abbildung (35) ist, was Sie erhalten, wenn Sie mit einer Matrix negativer Krümmung drucken. Rechts eine flach hingelegte Negakon.
(35)
In Abbildung (36) wird gezeigt, wie man den Pferdesattel mit dem Teil der Negakon verbindet.
Übrigens könnten Sie fragen:
- Wie kann ich die negative Winkelkrümmung messen, die in meinem Pferdesattel enthalten ist?
An einigen Orten in Texas, in der Nähe von mathematischen Instituten, wird beim Kauf eines Pferdesattels die entsprechende Winkelkrümmung auf dem beigefügten Beleg angegeben. Wenn nicht, können Sie, wenn Sie den Umfang der Grenze oder die Fläche mit dem euklidischen Wert vergleichen, der aus dem Radius dieser Scheibe negativer Krümmung berechnet wurde, die entsprechende Winkelkrümmung ableiten. Betrachten Sie dies als eine fruchtbare Übung.
(36)
(37)
Jetzt können wir unser Klebeband verwenden, Geodäten zeichnen und es auf eine Ebene projizieren, wie in Abbildung (38) gezeigt.
(38)
Wie üblich bezieht sich diese Ebenenprojektion auf unsere „mentale Welt“, die Wand von Platons Höhle. Das Aussehen der projizierten Geodäte würde für uns bedeuten, dass eine abstoßende Kraft auf unsere Referenzobjekte wirkt, zum Beispiel eine abstoßende Gravitationskraft. In Wirklichkeit sollte all das aus der zugrunde liegenden Geometrie kommen.
