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Konjugierte Geometrien.
Wir können nun einen stumpfen Posikon und einen stumpfen Negakon einander zuordnen.
Einander gegenüberliegend: ein Teil einer Kugel und ein Pferdesattel, mit entgegengesetzter
Winkelkrümmung + q
und - q. Wir haben eine Punkt-zu-Punkt-Entsprechung (injektive Abbildung). In Abbildung (39) wurde ein Paar konjugierter
Punkte eingezeichnet.
Wir nennen konjugierte Geometrien zwei geometrische Strukturen
mit einer Punkt-zu-Punkt-Verknüpfung, deren lokale Krümmungsdichten entgegengesetzt sind.
Dies ist der Fall bei dem Teil der Kugel und dem entsprechenden Pferdesattel.
Dasselbe gilt für den Teil des Posikons gegenüber einem Teil des
Negakons. Ihre lokalen Winkelkrümmungsdichten sind null.
(39)
Die positive Krümmung in der Falte F ist vollständig in
dem Teil der Kugel enthalten. Der Teil des Posikons ist eine euklidische Fläche,
die „lokal flach" ist. In der anderen Falte F*, der konjugierten Falte, ist die gesamte
(negative) Winkelkrümmung in dem Pferdesattel enthalten. Außerhalb ist der
Teil des Negakons „lokal flach", er enthält keine Krümmung.
Beachten Sie, dass man, wenn eine Falte gegeben ist, die andere aufbauen kann.
Allgemeine Relativitätstheorie.
Die Grundidee ist, dass der lokale Gehalt an „Materie-Energie"
die lokale Geometrie bestimmt, er formt die Raumzeit-Hyperfläche. Beachten Sie
das zusammengesetzte Wort „Materie-Energie", das zeigt, dass jeder Gehalt die
Geometrie des Universums bestimmt: Materie und Strahlung. In einem vorhergehenden
Abschnitt haben wir die Tatsache erwähnt, dass Photonen zur (positiven) Krümmung beitragen.
Heute ist der Beitrag des kosmischen Hintergrunds vernachlässigbar. Der Beitrag der Materie
zur Geometrie ist dominant. Aber in der fernen Vergangenheit war die Situation umgekehrt
: im Standardmodell, als t < 500.000 Jahre.
Suchen wir ein didaktisches Modell, um die
Grundkonzepte der allgemeinen Relativitätstheorie zu veranschaulichen. Befassen wir uns mit stationären Systemen.
Betrachten Sie eine ebene Fläche ohne innere Spannung. Wir können ihre Geometrie verändern,
wenn wir lokale Spannung einführen. Wir können positive oder negative Spannung
(Spannungstensor) einführen. Wenn ich zum Beispiel eine Kunststofffolie erhitze, erzeuge ich eine Blase
(positiver Krümmungseffekt)
Ich kann das Material auch mit einem Produkt tränken, das,
wenn es trocken ist, eine lokale Dehnung verursacht (negativer Krümmungseffekt).
Ein Kesselschmied weiß, wie man Erwärmung und Abkühlung einsetzt,
um eine Metallfläche zu formen, zum Beispiel eine Dose, die einen Unfall hatte.
Nehmen Sie ein einfaches Metallrohr. Erwärmen wir es auf einer Seite
und kühlen es auf der gegenüberliegenden Seite. Was wird passieren?
(40)
Die Spannung wird das Rohr verbiegen, wie in Abbildung (41) gezeigt.
(41)
Wir haben Spannungen in das Metall eingeführt. Dies ist der
Ursprung des Wortes Tensor in der Mathematik, der Materialfestigkeit und der Geometrie.
Der Spezialist für Materialfestigkeit wird von Spannungstensor sprechen. Der Geometer wird den Krümmungstensor anführen. Der Spezialist
für allgemeine Relativitätstheorie wird das Grundprinzip anwenden:
lokaler Energie-Materie-Gehalt
<-------> lokale Geometrie
Natürlich bestimmt dieser lokale Energie-Materie-Gehalt
die lokale Geometrie einer 4d-Hyperfläche. Aber die Idee ist ähnlich.
Wie soll man das schreiben? Mit dem, was Mathematiker Tensoren nennen.
Es ist schwierig, in dieser Richtung weiterzugehen, ohne
einen vollständigen Kurs über Differentialgeometrie zu entwickeln. Die berühmte
Einstein-Gleichung lautet:
(42)
S = c
T
c ist eine einfache Konstante (die Einstein-Konstante genannt wird). Sie hängt von den Werten zweier anderer Konstanten ab:
-
Der Lichtgeschwindigkeit c.
-
Der Gravitationskonstante G.
durch:
(42bis)
S ist ein geometrischer Tensor und übernimmt die
geometrischen Merkmale.
T ist ein anderer Tensor, der den lokalen Gehalt
des Universums beschreibt. In diesem Tensor finden Sie die Materiedichte r
und den Druck p. Sie werden als Energiedichten ausgedrückt.
r c2
ist eine Energiedichte
Aber p ist auch eine Energiedichte. Üblicherweise drückt man einen
Druck als Pascal pro Quadratmeter aus. Aber ein Pascal pro Quadratmeter ist auch
ein Joule pro Kubikmeter. Ein Druck ist im Grunde eine volumetrische Energiedichte.
Die Felder
r (x,y,z) und p
(x,y,z)
für ein stationäres System bilden die Eingabe des Problems.
Aus diesen Skalarfeldern können wir den Tensor T aufbauen. Dann wird die Frage
zu:
- Welche Geometrie gehört zu einem solchen Tensorfeld
T (x,y,z), das die Gleichung (42) erfüllt?
Angesichts des lokalen Gehalts des Universums muss der Theoretiker
die lokale Geometrie der Raumzeit-Hyperfläche aufbauen. Aber wozu
?
Hier verwendet man die zweite Grundhypothese:
- Alle Objekte, die unser Universum zusammensetzen, folgen
Geodäten der Raumzeit-Hyperfläche.
Ein Objekt kann ein Stern, ein Planet, ein Atom, ein Photon, ein
Elementarteilchen sein.
Kommen die Teilchen aus der Feldgleichung? Keineswegs. Die allgemeine
Relativitätstheorie ignoriert sie vollständig. Für den Spezialisten der allgemeinen
Relativitätstheorie ist das Universum ein Kontinuum, nichts anderes. Die Eingabefunktionen
r und p entsprechen
einer makroskopischen Beschreibung des Universums. Dasselbe gilt für die Ausgabe: das Geodäten-
system. Für den Theoretiker der allgemeinen Relativitätstheorie ist das Universum eine Hyperfläche,
nichts anderes. Er sagt:
- Sie haben mir Funktionen r (x,y,z)
und p (x,y,z) gegeben. Ich habe
für Sie die geeignete Hyperfläche aufgebaut, die der Feldgleichung gehorcht. Ich
habe alle möglichen Pfade bestimmt: das Geodätensystem. Aber ich bin völlig
unfähig, Teilchen für Sie zu bauen. Entschuldigung. Sehen Sie in einer anderen Abteilung nach.
Zusammengefasst: Die Brücke zwischen der allgemeinen Relativitätstheorie und
der Welt der Elementarteilchen wartet noch auf ihren Erbauer.
Aber der Astronom wird sagen:
- Wen kümmert's? Photonen sollen besonderen Geodäten dieser Hyperfläche folgen. Es funktioniert: Ich kann Dinge mit
optischen Geräten beobachten. Planeten sollen auch einer anderen Art von Geodäten folgen.
Es funktioniert auch. Ich kann ihre Bahnen berechnen, die Präzession des Merkur-
Perihels vorhersagen. Es gibt auch den Gravitationslinseneffekt.
Er hat recht.
Ein paar Worte zu diesem Gravitationseffekt. Zunächst einmal
ist dieses Bild des stumpfen Kegels ein einfaches didaktisches Bild. Zum Beispiel kann es nicht
die kreisförmigen Bahnen eines Planeten um einen Stern beschreiben:
(43)
Dies zeigt einfach die Grenze didaktischer Bilder. Aber wir
können dieses letzte Beispiel verwenden, um den Gravitationslinseneffekt mit
zwei Geodäten zu veranschaulichen:
(44)
Darunter die mentale, euklidische Darstellung des Raums.
Es gibt einen Mirage-Effekt. Statt eines einzigen Objekts sieht der Beobachter zwei „Gravitations-
miragen".
