a108

Koordinateninvarianter Formalismus.

Dies ist ein weiteres Schlüsselwort der allgemeinen Relativitätstheorie. Wir sagten, dass die Arbeit des Kosmologen derjenigen entspricht, die darin besteht, die Form eines Materials aufgrund innerer Spannungen vorherzusagen.
Nehmen wir ein Objekt, dessen Topologie die einer Kugel ist. Es handelt sich um eine Kugel aus Metall. Auch hier könnten wir sie mit Hilfe von Heiß- und Kaltluftströmen formen.

(45)

Diese Strömungen erzeugen Spannungen im Metall, die seine Form verändern. Natürlich kehrt die Temperatur der Kugel zur Gleichmäßigkeit zurück, wenn man das Erhitzen und Abkühlen stoppt, da sich die Wärme im Metall ausbreitet, und ihr Aussehen wird wieder regelmäßig.
Wir erzeugen Spannungen im Material, die seine Geometrie verändern.

Dieses Spannungsfeld kann durch ein mathematisches Objekt beschrieben werden, das als Tensor T bezeichnet wird.
Die Geometrie des Objekts könnte aus einer Feldgleichung berechnet werden, die der Einsteinschen Gleichung ähnelt.
(46)

S = a T

wobei a eine Konstante und S ein geometrischer Tensor ist, der die geometrischen Eigenschaften beschreibt.
Der beste Weg, die Lösung zu „lesen“, wäre die Berechnung des geodätischen Systems. Wir kennen die Geodäten der Kugel, aber die Geodäten eines Eis sind unterschiedlich. Um diese Geodäten auszudrücken, benötigen wir ein Koordinatensystem. Für eine Kugel können wir ein (q,j)-System verwenden:
(47)

In diesem speziellen Koordinatensystem kann die Geodäte einer Kugel in einer speziellen Form ausgedrückt werden. Zum Beispiel sind die Kurven:

q = konstant (Meridiane)

Geodäten. Aber die Kurven

j = konstant (Breitenkreise)

sind keine Geodäten dieser Oberfläche.

Wir könnten ein ähnliches Koordinatensystem auf der Oberfläche „Ei“ definieren. Aber eines ist offensichtlich: Das geodätische System existiert unabhängig von seiner mathematischen Darstellung (in einem gegebenen, speziellen Koordinatensystem).

Das geodätische System ist koordinateninvariant.

Ein anderes Beispiel ist viel einfacher. Betrachten wir die Geodäten einer ebenen Fläche. Sie sind gerade Linien. Wir können diese geraden Linien in kartesischen Koordinaten beschreiben:
(48)

Wir können diese Familie von Geodäten auch in Polarkoordinaten beschreiben. Dann sind die Gleichungen völlig unterschiedlich, beziehen sich aber auf dieselbe Familie von geraden Linien. Diese geraden Linien, die Geodäten der ebenen Fläche, existieren unabhängig von den gewählten Koordinaten. Sie sind koordinateninvariante Objekte.
Die Gleichungen sind kein intrinsisches Attribut.
Gibt es etwas, das sich nicht ändert, wenn wir von einem Koordinatensystem zu einem anderen wechseln?
Ja: Der geodätische Weg zwischen zwei Punkten M1 und M2 ändert sich nicht. Dasselbe gilt für jede auf der Oberfläche gezeichnete Linie. Die Oberfläche, die Punkte und die Kurve, die sie verbindet, existieren unabhängig von den gewählten Koordinaten. Dasselbe gilt für die Länge des Weges zwischen M1 und M2. Dies ist auch wahr für einen geodätischen Bogen, der eine spezielle Linie ist, die zwei Punkte verbindet:
(49)

Übrigens ist dieser geodätische Weg auch ein Extremalweg (zum Beispiel der kürzeste, wie hier gezeigt).
Ähnlich verhält es sich mit der Raumzeit-Hyperfläche, die ihr eigenes System von Geodäten besitzt, die ebenfalls koordinateninvariant sind. Auf dieser Hyperfläche existiert eine Länge s, die zum Objekt gehört und unabhängig vom gewählten Koordinatensystem ist.
Der schwierige Punkt ist, dass Raum und Zeit keine unabhängigen Größen sind. Wir leben nicht in einem 3D-Raum mit Punkten (x, y, z). Wir gehören zu einer 4D-Hyperfläche, die vollständig durch ihr System von Geodäten beschrieben wird. Betrachten wir zwei verschiedene Punkte dieser Hyperfläche M1 und M2.
Solche Punkte können in einem gegebenen System von vier Koordinaten beschrieben werden:

M1 ---> (x1, y1, z1, t1)

M2 ---> (x2, y2, z2, t2)

Diese Punkte werden als Ereignisse bezeichnet. Wir können die geodätische Kurve berechnen, die sie verbindet, falls eine solche existiert. Solche Ereignisse sind nicht identisch. Zwischen ihnen können wir einen Abstand s messen, der koordinateninvariant ist. Diese Länge wird genannt:

Eigenzeit s

Angenommen, Sie und ich benutzen ein Raumschiff, um von einem Punkt M1 zu einem anderen Punkt M2 zu reisen, der sich in der Raumzeit befindet.

s ist das Maß für die Zeit auf unserer Borduhr.

Sie werden einwenden:

• Aber Raum existiert doch, oder?
• Vorsicht. Diese Definition dessen, was wir Raum und „absolute Zeit“ nennen, entspricht einer willkürlichen Wahl. Sie sind nur eine bequeme Möglichkeit, die Oberfläche zu „lesen“, so wie wir die Gleichungen der geraden Linien auf einer ebenen Fläche in zwei verschiedenen Gleichungen schrieben. Das Einzige, was sich nicht ändert, was koordinateninvariant ist, ist das Eigenzeitintervall Δt zwischen zwei Ereignissen, die durch ein weiteres koordinateninvariantes Objekt verbunden sind: eine geodätische Linie. Die sogenannte „absolute Zeit“ t ist nichts anderes als ein mehr oder weniger willkürlicher chronologischer Marker.
  Wenn Sie Ihr Koordinatensystem ändern, ändern Sie die Ablesung der Ereignisse. In den Papieren, die wir auf dieser Website präsentieren werden, werden Sie sehen, dass dies ein reales Problem ist.
  Jedenfalls verstehen Sie nun, warum Physiker und Mathematiker einen koordinateninvarianten Formalismus gewählt haben, der auf Tensoren basiert.

Tensorform-Gleichungen sind koordinateninvariant.

Dies ist der Geist der allgemeinen Relativitätstheorie. Aber außer mit ausgefeilter Hardware ist es schwierig, Ihnen mehr darüber zu erzählen.