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Das Problem der Singularitäten.
Auf einer Kugel kann man bei jeder Wahl eines Koordinatensystems Singularitäten nicht vermeiden (zum Beispiel zwei polare Singularitäten):
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Beachten Sie, dass man eine Kugel mit einer einzigen „polaren Singularität“ abbilden kann.
Schneiden Sie die Kugel durch diese erste Familie von Ebenen, die alle durch dieselbe Gerade verlaufen:
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Dann führen Sie die zweite Familie von Ebenen ein, die die Kugel ebenfalls schneidet.
(52)
Wenn man dieses lokale Durcheinander ausklammert, gibt es ansonsten kein Problem.
Betrachtet man die Kugel von der anderen Seite, erhält man Folgendes:
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Aber an den Punkten S sind die Werte von a und b einfach nicht definiert!
Eine Kugel ist jedoch grundsätzlich eine reguläre Fläche. Drehen Sie ein Ei in Ihrer Hand: Sie werden keinen besonderen Punkt, keine intrinsischen Singularitäten entdecken.
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Fazit: Diese Singularitäten sind ein Artefakt, das auf der Wahl der Koordinaten zurückzuführen ist.
Diese polaren Singularitäten sind nicht „real“, es sind keine intrinsischen Singularitäten. Man wählt ein Koordinatensystem. Dann wird ein beliebiger Punkt, oder zwei, singulär. Die beiden Singularitäten einer abgebildeten Kugel – der Nordpol und der Südpol – sind eine reine Schöpfung der Wahl des Koordinatensystems, ein Artefakt.
