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Im Gegensatz dazu existieren echte intrinsische Singularitäten auf Flächen.
Es handelt sich um echte geometrische Singularitäten: (55)
(56)
(57)
Und so weiter...
Übrigens ist eine Falte ein besonderer Bereich einer Fläche, in dem sich die lineare Krümmung konzentriert. In Abbildung (57) links haben wir eine negative lineare Krümmung. Auf der rechten Seite eine positive lineare Krümmung.
Wir haben in jeder Teilabbildung zwei Kugelabschnitte verwendet. Das globale Objekt hat dieselbe Topologie wie die Kugel, was bedeutet, dass seine gesamte Winkelkrümmung 4π beträgt.
Angenommen, das Objekt auf der linken Seite wurde aus zwei Kugelabschnitten gebaut, die jeweils eine Winkelkrümmung von 3π enthalten.
3π + 3π = 6π
Dies ist zu viel. Dann muss die (negative) lineare Krümmung dies ausgleichen, um den endgültig erforderlichen Wert von 4π zu ergeben:
Als Schlussfolgerung enthält unsere Falte eine negative Krümmung von:
-2π.
Diese Krümmung ist gleichmäßig entlang der gekrümmten Kurve, entlang der Falte, verteilt.
Kehren wir zu den Abbildungen (57) zurück. Wir haben Dreiecke dargestellt, die aus Geodäten gebildet sind. Man kann eine Falte jedoch problemlos mit einem (schmalen) Klebestreifen überqueren. Sie wissen, wie man die Summe der drei Winkel eines Dreiecks berechnet bzw. vorhersagt. Man muss lediglich die Fläche des Dreiecks mit der Fläche der Kugel vergleichen. Der Krümmungsüberschuss beträgt:
(58)
Man muss jedoch die (negative oder positive) Krümmung berücksichtigen, die im Abschnitt der Falte, im Bogen mn, enthalten ist. Diese beträgt:
(59)
Angenommen, eine Art Linse auf der rechten Seite von Abbildung (57) wird aus zwei Kugelabschnitten gebildet, die jeweils eine Winkelkrümmung von π enthalten. Wenn wir die Falte vernachlässigen, enthält diese Kombination aus zwei Kugelabschnitten daher eine Winkelkrümmung von 2π. Aber diese Linse hat eine sphäroide Topologie. Der Beitrag zur Winkelkrümmung muss 2π betragen. Dann gilt:
2π + 2π = 4π (Gesamtkrümmung der Kugel)
Man kann auch die Summe dieses seltsamen Dreiecks vorhersagen, das aus drei Geodäten gebildet ist. Der Bogen mn enthält die lineare Winkelkrümmung:
(60)
Wenn man die Menge an Winkelkrümmung misst, die in der Falte innerhalb des Dreiecks enthalten ist, kann man die Abweichung von der euklidischen Summe, die π beträgt, abschätzen.
Sie sehen, dass man diese Krümmungsprobleme auf Flächen relativ leicht handhaben kann.
Eine Fläche kann konische Punkte oder Faltenlinien besitzen. Dies sind intrinsische Singularitäten, nicht diese künstlichen Singularitäten, die auf einer bestimmten Wahl der Koordinaten beruhen. Beachten Sie, dass wir die Falte glätten können. Dann erhalten wir eine Erdnuss:
(61)
Dies ist ähnlich wie beim Glätten des punktförmigen Gipfels eines Kegels (konzentrierte Winkelkrümmung), wobei das Objekt in einen stumpfen Kegel umgewandelt wird (Winkelkrümmung verteilt auf einen Abschnitt einer Kugel).
Angenommen, die beiden Kugelabschnitte oben in Abbildung (61) repräsentieren jeweils 2/3 einer Kugel, d. h. eine Krümmung von
(62)
Der graue Abschnitt der „Erdnuss“ enthält negative Krümmung. Genauer gesagt:
(63)
