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Repräsentativer Raum.

Wir haben in einem vorangehenden Abschnitt gesehen, dass ein Zylinder flach ausgebreitet werden kann. Nun nehmen Sie ein Stück Papier, ein flaches Blatt. Es ist eine euklidische Fläche. Sie können Geodäten darauf zeichnen. Nun zerknüllen Sie es.
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Wenn Sie diese zerknüllte Fläche starr machen und mit Klebeband Geodäten darauf zeichnen könnten, würden Sie dasselbe System wiederfinden! Die Fläche wurde nicht wirklich verändert. Wenn ein Bewohner in einem solchen „Flachland" lebt, kann er den Zerknüllungsvorgang vielleicht gar nicht bemerken. Alles würde für ihn normal bleiben, so wie das Leben für ihn heute ist: indem er beispielsweise den Geodäten seiner zweidimensionalen Raumzeit-Fläche folgt.

Indem Sie das Blatt zerknüllen, haben Sie lediglich das repräsentative System verändert, die Art und Weise, wie die 2d-Fläche in den 3d-euklidischen Raum eingebettet ist.

Eine einfachere Veränderung besteht darin, ein flaches Metallblech in eine gewellte Fläche zu verwandeln. Siehe Abbildung (65)
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Vor vielen Jahren war ich auf einem großen Markt in Addis Abeba, Äthiopien. Dort ist Metall selten. Man findet Werkstätten, in denen junge Männer gewellte Eisenflächen mit einem einfachen Hammer in flache Platten verwandeln. Wenn einer von ihnen vor der Bearbeitung eine Geodäte gezeichnet hätte, hätten wir festgestellt, dass das Geodätensystem unverändert geblieben wäre.

Aber um die Wahrheit zu sagen, bin ich mir nicht wirklich sicher, dass diese Art von Leuten weiß, was eine Geodäte ist, natürlich aus mathematischer Sicht. Jede Person, die Körbe baut, verwendet ganz selbstverständlich geodätische Linien.

Ich erinnere mich, dass ich als Lehrer für Korbflechterei in einem Ferienlager in der Nähe von Burlington und dem Lake Champlain, Vermont, war ... vor vielen Jahren.

Bedenken Sie, dass geometrische Objekte ihre eigene Existenz und ihre eigenen Eigenschaften haben, die unabhängig davon sind, wie Sie sie in einem Raum mit höherer Dimensionszahl darstellen. Zerknüllt oder nicht, ein Blatt ist ein Blatt, d. h. eine euklidische Fläche.

Wir sollen in einer 4d-Hyperfläche leben. Wir alle sollen übrigens auf dieselbe Weise leben. Aber meine Frau Claire, die eine sehr charmante Person ist, ist überzeugt, dass ich in einem Raum mit höheren Dimensionen lebe (fünf, glaubt sie). Das führt manchmal zu gewissen Kommunikationsschwierigkeiten, wenn ich mich irgendwo in meiner persönlichen fünften Dimension aufhalte.

Aber leben Frauen wirklich in einer 4d-Hyperfläche? Manchmal bin ich diesbezüglich skeptisch, aber das ist ein anderes Thema.

Nehmen Sie an, Sie leben in einer 4d-Hyperfläche und folgen den Geodäten dieser Raumzeit, denen Sie folgen wie ein Ochse seiner Furche.

Nehmen Sie nun an, Sie seien Gott. Sie wollen eine vollständige Darstellung dieser 4d-Hyperfläche. Dann brauchen Sie mindestens eine weitere Dimension. Persönlich denke ich, dass er, wenn Gott existiert, in einer zehndimensionalen Hyperwelt leben muss. Die folgenden Argumente werden in Geometrische Physik B entwickelt und stammen aus der Gruppentheorie.

Besitzt Gott eine Gruppenstruktur?

Praktisch berechnet der Spezialist für allgemeine Relativität eine Lösung einer Feldgleichung (Einsteins Lösung). Dann untersucht er das Geodätensystem. Sie sind „gerade 4d-Linien". In der Raumzeit ist, wenn man Geodäten folgt, die allgemeine Ordnung:

• Geradeaus gehen! Nicht links oder rechts abbiegen.

Sie gehorchen, einfach weil Sie nichts anderes tun können. Abbiegen ist in der Raumzeit Unsinn. Alles, jeder „geht geradeaus".

Aber die Dinge, die Wege, die Trajektorien erscheinen unseren 3d-Augen gekrümmt. Wir lesen es in unserer mentalen Raumdarstellung. Wir stehen vor der Wand von Platons Höhle und schauen tanzenden 3d-Schatten zu.

Kehren wir zu unserem didaktischen 2d-Bild zurück, zum stumpfen Kegel. Er soll den Raum in der Umgebung einer Massenkonzentration (grauer Bereich) darstellen. Wir nehmen an, dass er einem stationären Zustand entspricht.

Wir können Kugelkoordinaten (r, q, j) als Raummarker (in 3d) verwenden. In 2d haben wir nur zwei: (r, q).

Dann können wir die Figur auf eine Ebene projizieren und denselben Satz von Polarkoordinaten verwenden. Siehe nächste Abbildung.

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Wie oben gesagt, ist die Oberfläche des stumpfen Kegels ein grobes didaktisches Modell, das eine besondere Lösung der Einstein-Feldgleichung nahelegt

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S = c T

die 1917 von Schwarzschild aufgestellt wurde. Das ist eine brillante und kluge Arbeit. Nur um zu sagen, dass Albert damals kein einsames Genie war, verloren auf einer einsamen Insel. Viele Leute denken, dass der große deutsche Mathematiker Hilbert die „Einstein-Gleichung" erfunden hat. Manche andere haben angedeutet, dass Frau Einstein effizient zum Aufbau der speziellen Relativitätstheorie beigetragen haben könnte, die sich ganz natürlich aus den Arbeiten von Poincaré und Lorentz ergibt (wenn Sie sich Einsteins Arbeiten ansehen, werden Sie sehen, dass er selten andere Leute erwähnt).

Schwarzschilds Lösung ist ein Meilenstein der allgemeinen Relativitätstheorie. Man verwendet sie, um die relativistischen Trajektorien von Planeten um die Sonne zu berechnen und die Periheldrehung des Merkur nachzuweisen.

Jeder würde sofort sagen:

• Warum hat Schwarzschild das nicht selbst berechnet?

Dafür gab es einen sehr guten Grund: Er war tot.

Schwarzschild war ein Patriot und bestand darauf, 1917 an die Front zu gehen. Dort wurde er vergast und starb später. Einstein führte die Arbeit fort, die zur „Einstein-Theorie" wurde.

Es war eine stationäre Lösung. Später versuchte Einstein, ein Modell des Universums zu bauen, in dem die Krümmung mit dem Energie-Materie-Gehalt identifiziert werden konnte. Aber zu dieser Zeit wusste niemand, dass das Universum nicht stationär war. Albert versuchte, ein stationäres Modell zu bauen, aber die Dinge liefen nicht so gut. Dann besuchte er Elie Cartan, einen großen französischen Mathematiker, der empfahl, eine Konstante in die Feldgleichung einzufügen, was Einstein auch tat.

Dann erfand ein russischer Segelflugpilot namens Friedmann eine nicht-stationäre Lösung. Etwa zur selben Zeit entdeckte Edwin Hubble die Rotverschiebung und die nicht-stationären Merkmale des Universums. Einstein war sehr enttäuscht und sagte:

• Hätte ich gewusst, dass das Universum nicht stationär ist, hätte ich die Lösung vor Friedmann gefunden!

Wenn, pflegten die Lakedaimonier zu sagen.

Aber die Geschichte endete dort nicht. Anfangs hatte Friedmann die zyklische Lösung gebaut, eine der drei, die die „Friedmann-Modelle" bilden.

Einstein schwieg jahrelang. Dann, nach Friedmanns Tod, veröffentlichte er das „Einstein-de-Sitter-Modell", „die parabolische Friedmann-Lösung".

Später reichte ein junger polnischer Forscher namens Kaluza eine Arbeit bei „Professor Einstein" ein, der sich mehr als ein Jahr weigerte, sie zu veröffentlichen. Kaluza beschwerte sich bei Einstein, der antwortete:

• Sie sollten sich diese Theorie genauer ansehen. Ich bin skeptisch.....

Viele Jahre später wurde Kaluzas Idee (dem Raum-Zeit-Kontinuum eine fünfte Dimension hinzuzufügen) zum Ausgangspunkt fortgeschrittener Arbeiten (einschließlich des Superstring-Ansatzes). Siehe Geometrische Physik B.

Nun, Albert war kein so guter Sportler......

Kehren wir zum stationären 3d-Modell zurück, das der Raumzeit-Geometrie um die Sonne entspricht. Die Berechnung ergibt Geodäten, die in Ebenen liegen. Wenn der Krümmungseffekt mäßig und die Geschwindigkeit im Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit c klein ist, entspricht ihre Projektion in einem repräsentativen euklidischen Raum-Zeit-Kontinuum quasi-keplerschen Bahnen und den Keplerschen Gesetzen. Wir können die Zeit vergessen und diese Geodäten in Ebenen mit Polarkoordinaten darstellen.

r = f (q).

In der Schwarzschild-Lösung gibt es tatsächlich zwei verknüpfte „metrische Lösungen", wie in Abbildung (68) angedeutet. Innerhalb des „massiven Körpers" wird die Massendichte r als konstant angenommen. Dort ist der Energie-Materie-Tensor T nicht null. Aber außerhalb sind r und T null.

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Dies ist eine zusammengesetzte Geometrie. In 3d zeigt die Massendichte eine abrupte Unstetigkeit an der Oberfläche (die als Kugel angenommen wird) der „Massenkonzentration". Dies ähnelt der Unstetigkeit der Winkelkrümmungsdichte an der Oberfläche (nicht null im grauen Bereich, null außerhalb. Der Rand wird zu einer S1-Kugel, d. h. einem ... Kreis).

In 4d kann die mathematische Verknüpfung hergestellt werden, um die Kontinuität der geodätischen Linien zu gewährleisten. Dies ähnelt dem Verbindungsstück eines Kugelabschnitts eines Posikons.

Wenn die Masse bedeutend wird (was durch unser grobes didaktisches 2d-Modell nicht beschrieben werden kann), sind die geschlossenen Bahnen nicht mehr elliptisch.

Siehe Abbildung (69). Diese Zeichnung entspricht der Trajektorie eines Raumfahrzeugs um einen Neutronenstern.

Die Trajektorie des Merkur um die Sonne ist ähnlich, aber die Periheldrehung der elliptischen Bahnen beträgt 0,15° pro Jahrhundert.

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Eines Tages werden wir die Formeln und das Programm einfügen, mit denen man mit diesem Problem spielen kann. Es ist nicht sehr schwierig.

Einige mathematische Informationen am Ende dieser Seite und auf der nächsten; wenn Sie wollen, können Sie direkt zu Seite 13 gehen