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Geometrischer Kontext.

Eine Kugel ist ein zweidimensionales geometrisches Objekt. Wir brauchen zwei
Größen, zwei Zahlen, zwei Skalare, um einen Punkt auf ihr zu lokalisieren.

Eine Kugel ist eine Fläche, die eine Topologie besitzt. Ihre Topologie unterscheidet sich von
der des Torus.

Beide besitzen geodätische Systeme. Wie in einem vorangehenden
Abschnitt dargelegt, können wir zwei verschiedene Punkte M1 und M2 auf einer Kugel und eine Kurve
festlegen, die sie verbindet. Dann können wir die Länge entlang dieses eigentümlichen Weges messen.
Es ist eine koordinateninvariante Größe. Eine S2-Kugel existiert unabhängig von
jedem beliebigen 3d-Repräsentationsraum. Aber wir können sie in unserem vertrauten euklidischen
3d-Raum festlegen, in dem wir angeblich leben. Dann können wir dieser
Kugel ein Zentrum geben und alle ihre Punkte mit ihm verbinden. Siehe Abbildung (116). Jeder Punkt entspricht
zwei Winkeln: q und
j.
(116)

Wir haben ein Loch in der Kugel angebracht, um
die Vektoren OM zu zeigen, wobei O das Zentrum und M ein Punkt der Kugel ist.

Nun behält Abbildung (117) die Vektoren und vergisst die Kugel.

(117)

Diese Halbgeraden sind unendlich, aber wir haben sie
in einer gegebenen Länge abgeschnitten dargestellt, entsprechend dem Radius R unserer Kugel.
Jede Gerade entspricht einem Paar ( q
, j ).
Die metrische Struktur ist verschwunden. Keine Geodäten, keine Länge. Was bleibt übrig?

Jede dieser Halbgeraden hat Nachbarn, die
ihre Nachbarschaft bilden. Jede Halbgerade könnte als eingeschlossen
in eine Folge von Kegeln dargestellt werden ( Abbildung (118) ) .

(118)

Um jede Linie können wir so viele Linien von Kegeln legen, wie wir wollen.
Zwischen zwei dieser Kegel können wir immer einen weiteren legen. Das legt intuitiv
den Begriff der Differenzierbarkeit nahe. In einem solchen geometrischen Objekt
gibt es keine Diskontinuität.

Nun vergessen Sie die Kugel und nehmen Sie eine ebene Fläche. Sie ist
eine Menge von Punkten. Welches Koordinatensystem ich auch wähle, ich kann
die Punkte mit zwei Größen definieren: (x,y), (r,q),
und so weiter.

Ein Paar reeller Zahlen. Diese sind aus R2 gewählt, d.h.
aus der Menge der reellen Zahlen, wie (3,8705 , - 17,56).

Jedes Paar reeller Zahlen ( x ; y ) besitzt eine unendliche Anzahl
von Nachbarn ( x + Dx
; y + D y ) .

Diese "prämetrischen" Objekte werden von Mathematikern
Mannigfaltigkeiten genannt.

Es ist ziemlich schwierig, über ein solches "flexibles" Medium nachzudenken.
In (119) haben wir eine starre, ebene Fläche mit metrischen Eigenschaften dargestellt und
darunter den Schatten ihrer Punkte.

(119)

Ein Schatten hat keine eigene Form, keine Ausdehnung. Er hängt vom
Schirm und der Erzeugung der Lichtstrahlen ab. In Abbildung (120) deuten wir die Relativität
des Schattens in Bezug auf das Objekt an.

(120)

Diese "parallelen Linien" ähneln jenen Strahlen, die wir eingeführt haben,
um die Punkte einer Kugel mit ihrem Zentrum zu verbinden. Hier sind die Punkte der Ebene
mit einer "Quelle" "verbunden", die im Unendlichen liegt.

Geben Sie diese letzte Vorstellung von Geraden auf. Betrachten Sie ein Bündel
gekochter Spaghetti ( wenn sie es nicht sind, sollten sie starr und zerbrechlich sein ).
Wir können es biegen. Aber wir zwingen die Spaghetti, zusammengehalten zu bleiben. Ihre
Nachbarschaft darf nicht verändert werden.

(121)

All das ist sehr grob, ich weiß, und nicht ganz streng.
Ich versuche nur, dem Leser nahezubringen, was eine Mannigfaltigkeit sein kann, ein geometrisches
Objekt ohne Metrik, bei dem die Haupteigenschaft darin besteht, dass jeder Punkt Nachbarn hat.

Eine Mannigfaltigkeit ist eine Menge von Punkten m
. Ich kann mir vorstellen, dass ich jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein Paar (M1 , M2)
von Punkten zuordne, die zu realen Flächen gehören, welche metrische Eigenschaften, Länge,
und so weiter besitzen....

Ich nenne die n-dimensionale Mannigfaltigkeit eine Skelett-Mannigfaltigkeit
und die zugehörigen n dimensionalen Flächen einfach Falten. Dann baue ich die

zweiblättrige Überlagerung einer Mannigfaltigkeit.

In Abbildung (122) die zweiblättrige Überlagerung einer Mannigfaltigkeit m2
(zwei Dimensionen).

(122)

In (122) habe ich identische, parallele euklidische
Falten ( Ebenen ) mit gleichen Metriken dargestellt. Aber ich kann die Abbildung (123) konstruieren:

Wir werden M und M* konjugierte Punkte nennen. Diese
beiden Falten aus einer "Skelett-Mannigfaltigkeit" zu bilden, hat eine bestimmte Bedeutung: Jedem Punkt
M der Falte F können wir einen und nur einen konjugierten Punkt M* zuordnen. Es
gibt eine Punkt-zu-Punkt-Abbildung. Dann können wir die Skelett-Mannigfaltigkeit vergessen.

Der Umgebung jedes Punktes der Falte F entspricht
die Umgebung seines konjugierten Punktes M*. Siehe Abbildung (124). Das bedeutet, dass
jedem regulären Bereich von F ein konjugierter regulärer Bereich entspricht, der zu
F* gehört.
(124)

Dies zeigt insbesondere, dass die konjugierten Punkte M
und M* durch denselben Satz von Koordinaten beschrieben werden.