Konjugierte Krümmungen.
Wie können wir 3D-Räume mit lokaler positiver oder negativer Krümmung verstehen?
Beginnen wir mit 2D-Oberflächen. Betrachten Sie eine Kugel und befestigen Sie irgendwo einen Nagel, wie in Abbildung (125) gezeigt. Befestigen Sie eine Schnur der Länge L, die den Nagel und einen Bleistift verbindet. Damit können wir einen Kreis zeichnen, einen Parallelkreis der Kugel. Ein Parallelkreis einer Kugel ist die Menge der Punkte, die den gleichen Abstand L von einem gegebenen Punkt S haben.
Wir können ähnliche Operationen durchführen (Abbildungen (125)):
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Auf einem Pferdesattel
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Auf einer Ebene.
(125)
Auf der ebenen Fläche beträgt der Umfang 2 π L, während die Fläche der Scheibe π L² ist.
Auf der Kugel sind der Umfang und die Fläche der Scheibe kleiner. Auf dem Pferdesattel hingegen sind sie größer.
Betrachten Sie eine Kugel und einen Parallelkreis, der mit ihrem Äquator übereinstimmt. Siehe Abbildung (126). Die Werte entsprechen Abbildung (126)
(126)
Die Fläche der Scheibe ist 3,875-mal größer als der entsprechende (graue) Teil der Kugel. Ihr Umfang ist 1,57-mal länger als die Länge des Äquators.
Ähnliche Tests würden die negative Krümmung des Pferdesattels zeigen. Wenn wir eine geschlossene Kurve zeichnen, die Menge der Punkte mit gleichem Abstand L von einem gegebenen Punkt auf einem Pferdesattel, ist die Fläche dieser Scheibe negativer Krümmung größer als die Fläche einer flachen Scheibe π L². Ebenso ist der Umfang der Scheibe negativer Krümmung größer als der einer flachen Scheibe: 2 π L.
Geometrie ist eine Wissenschaft für Blinde. Geometer versuchen, Tests zu entwickeln, die Bewohner eines gegebenen Raums durchführen könnten, um selbst seine geometrischen Eigenschaften zu entdecken. Aus den vorangehenden Abbildungen könnten die Bewohner einer zweidimensionalen Oberfläche, die unfähig sind, diese von einem externen Blickpunkt aus zu sehen (da sie in ihr leben), durch Flächen- und Längenmessung entdecken, ob der Teil einer Oberfläche, in dem sie leben, eine positive lokale Krümmung, eine negative lokale Krümmung oder eine verschwindende lokale Krümmung (euklidischer Raum) besitzt.
Beachten Sie, dass es Oberflächen gibt, deren lokale Krümmung positiv, null oder negativ sein kann. Beispiel: ein Torus.
(126ter)
Ähnliche Methoden gelten für 3D-Räume. Wählen Sie irgendwo einen Punkt O. Nehmen Sie eine Schnur, einen „Bleistift", und zeichnen Sie damit die Menge der Punkte, die sich in einem gegebenen Abstand L vom betrachteten Punkt befinden. Sie erhalten eine Kugel und können deren Fläche messen. Wenn diese Oberfläche in einem euklidischen 3D-Raum konstruiert wurde, wird diese Fläche betragen: 4 π L².
Wenn diese Fläche kleiner ausfällt, bedeutet das, dass dieser 3D-Raum nicht euklidisch ist. Es ist ein riemannscher 3D-Raum mit positiver Krümmung. Wenn wir das Volumen messen, werden wir es kleiner finden als:
(127)
Die Situation kehrt sich um, wenn wir es mit einem negativ gekrümmten 3D-Raum zu tun haben. Die Fläche der Kugel, betrachtet als Menge der Punkte in einem gegebenen Abstand L von einem festen Punkt O, wird größer sein als 4 π L². Das Volumen innerhalb dieser geschlossenen Oberfläche wird größer sein als (127).
Die Kosmologie gründet nicht auf einfachen 3D-Räumen, sondern auf 4D-Hyperflächen (mit „hyperbolischer Signatur"), sodass eine solche Darstellung begrenzt ist. Wir müssen sie als grobes didaktisches Modell betrachten.
Der Riemannsche Skalarkrümmung eines n-dimensionalen Raums ist etwas anders.
In unserem gegenwärtigen kosmologischen Modell nehmen wir an, dass die lokale skalare Riemann-Krümmung an konjugierten Punkten (M, M*) entgegengesetzt ist: (127bis)
R* = - R
Der Spezialist findet weitere Details in der Arbeit:
J.P.Petit & P.Midy: Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, März 1998.
Als Nächstes ein nützliches didaktisches 2D-Bild, das Abbildung 39 entspricht.
(128)
Oben: ein geglätteter Posikonus. Verschwindende lokale (Winkel-)Krümmung im Teil des Posikonus. Konstante positive (Winkel-)Krümmungsdichte im (grauen) Teil einer Kugel.
Unten: ein „geglätteter Negakonus". Verschwindende lokale (Winkel-)Krümmungsdichte im Teil des Negakonus, der den Pferdesattel umgibt. Konstante negative (Winkel-)Krümmungsdichte im Teil des Pferdesattels, der dem Teil einer Kugel zugewandt ist.
Die Krümmungen sind konjugiert. Gegenüberliegend, mit Punkt-zu-Punkt-Entsprechung, Teile verschwindender lokaler Krümmung von Posikonus und Negakonus.
Gegenüberliegend, mit Punkt-zu-Punkt-Entsprechung, eine Oberfläche konstanter positiver Krümmung (ein Teil einer Kugel) und eine Oberfläche negativer Krümmung (Pferdesattel). Die Krümmungsdichten sind gleich und entgegengesetzt. Die kreisförmigen Ränder sind Punkt für Punkt verbunden.
Dies ist ein didaktisches Bild unseres kosmologischen Modells. Für mehr mathematische Details siehe:
J.P.Petit & P.Midy: Matter ghost-matter astrophysics. 1.The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, März 1998.
