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Begriff der Geodäte.
...In allem, was folgt, werden wir uns ausschließlich mit zweidimensionalen Flächen beschäftigen. Es wäre ratsam, wenn der Leser vor Beginn der Lektüre etwas Material beschaffen würde. Denn es gibt Dinge, die „mit den Händen verstanden werden“, indem man Experimente durchführt. Man benötigt daher:
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Kartonpapier oder etwas dickeres Papier.
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Klebeband, am besten farbig.
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Scheren.
...Im Handel gibt es spezielle „Gewebeklebeband“-Bänder, die besonders praktisch sind, da sie in beliebige Breiten abgerollt werden können.
...Nehmen Sie eine Oberfläche, beispielsweise die Karosserie Ihres Autos. Sie können ein Band darauf kleben, wobei Sie darauf achten, dass es sich nicht wellt und sich vollständig an der Unterlage festhält. Auf diese Weise zeichnen Sie Geodäten der „Autofläche“.
...Führen Sie diese Operation auf einer ebenen Fläche durch, erhalten Sie... Geraden. Die Geraden sind die Geodäten der Ebene.
...Mit drei Geodäten können Sie ein Dreieck auf dieser Ebene, also einer „euklidischen Fläche“, zeichnen, wobei die Summe der Winkel dieses Dreiecks 180° beträgt.
Die Posicône.
Bauen wir nun eine „Posicône“ her. Dazu schneiden Sie einen Winkel q aus und kleben die Fläche wie angegeben wieder zusammen.
...Zeichnen Sie zwei geodätische Dreiecke mit dem Klebeband, eines außerhalb des Scheitelpunkts S dieser Posicône und eines, das diesen Scheitelpunkt S enthält. Messen Sie die Winkelsumme des Dreiecks. Man stellt fest, dass die Winkelsumme des Dreiecks, das den Scheitelpunkt nicht enthält, weiterhin 180° beträgt, während die Summe des anderen Dreiecks 180° + q ergibt.
Um dies zu überprüfen, genügt es, die „Posicône“ zu öffnen und flachzulegen. Dann erhält man Folgendes:
...Man kann nun leicht überprüfen, dass die Geraden AH und H'B einen Winkel q bilden. Wie man experimentell feststellen könnte, werden die Geodäten des Kegels, wenn man sie flachlegt, zu Geraden in der Ebene, was einfach bedeutet, dass der Kegel eine abwickelbare Fläche ist. Gleiches gilt für einen Zylinder.
...Eine abwickelbare Fläche ist auch eine Fläche, die man auf eine Ebene abrollen kann (unter gewissen Vorsichtsmaßnahmen, insbesondere bei abwickelbaren Flächen mit negativer Krümmung, wie später noch gezeigt wird).
...Wenn man eine Geodäte auf einem Kegel oder Zylinder mit fettem Farbstoff zeichnet, kann man diese „Matrize“ nutzen, um sie auf eine Ebene „abzudrucken“, wobei man dann eine Gerade erhält. Umgekehrt, wenn man eine Gerade mit fettem Farbstoff auf einer Ebene zeichnet und diese „auf einen Kegel oder Zylinder abdruckt“, indem man diese Objekte über die Ebene rollt, ergibt der Abdruck... Geodäten.
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