Krümmung und geodätische Dreiecke

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Die Krümmung (positiv).

...Als wir unser Dreieck, bestehend aus Geodäten, auf einer Ebene zeichneten, betrug die Summe seiner Winkel p. Eine Ebene... ist eine ebene, "nicht gekrümmte", euklidische Fläche. Die Summe der Winkel dieses Dreiecks ist daher die euklidische Summe. In der vorhergehenden Erfahrung sahen wir, dass, wenn ein Dreieck den Scheitelpunkt unseres Kegels nicht enthält, die Summe weiterhin euklidisch bleibt. Wenn jedoch das Dreieck den Scheitelpunkt S enthält, weist diese Summe einen Überschuss q auf, unabhängig von der Wahl des Dreiecks, solange es diesen Punkt enthält. Wir werden sagen, dass der Scheitelpunkt des Kegels ein Punkt konzentrierter Krümmung ist.

...Wir können nun zu weiteren Experimenten übergehen. Nachdem wir zwei Kegel mit den Ausschnitten q1 und q2 hergestellt haben, können wir diese beiden Flächenelemente aneinanderkleben.

...Eine einfachere Methode besteht darin, zwei Ausschnitte in ein Stück Pappe zu schneiden und die folgende Fläche herzustellen:

Sie können nun auf dieser Fläche beliebig viele geodätische Dreiecke zeichnen:

• Umschließt weder S1 noch S2: Summe der Winkel: p

• Um schließt nur S1: Summe der Winkel: p + q1

• Um schließt nur S2: Summe der Winkel: p + q2

• Um schließt beide Punkte S1 und S2: Summe der Winkel: p + q1 + q2

...Es ist leicht vorstellbar, dass man eine große Anzahl kleiner Kegel mit kleinem Winkel Dq herstellen und sie aneinanderkleben kann. Man könnte sogar dafür sorgen, dass die Krümmungsdichte pro Flächeneinheit konstant ist, indem man diese Krümmung als Summe der Dq-Werte aller Scheitelpunkte dieser kleinen Kegel auffasst.

...Indem man diese kleinen Kegel immer kleiner macht (ebenso wie den zugehörigen elementaren Winkel Dq), kann man damit einen Flächenabschnitt mit konstanter Krümmungsdichte konstruieren.

Die Kugel ist eine Fläche mit konstanter Krümmungsdichte. Man sagt einfacher: eine Fläche mit lokaler konstanter Krümmung.

Ein Ei ist eine gekrümmte Fläche mit variabler Krümmungsdichte. Man sagt einfacher: eine Fläche mit lokaler variabler Krümmung.

...Die Allgemeine Relativitätstheorie besteht darin, Massendichte r und lokale Krümmung zu identifizieren. Natürlich behandelt die Allgemeine Relativitätstheorie nicht zweidimensionale Flächen, geschweige denn dreidimensionale, sondern Hypersurfaces mit vier Dimensionen. Man sollte daher nicht zu viel von dem vorher Gesagten erwarten, und diese Figuren nur als didaktische Bilder betrachten, die die Vorstellung verankern sollen. Aber sie sind nicht ganz schlecht.

Didaktisches 2D-Bild eines Himmelskörpers.

Ein Himmelskörper wie die Sonne ist eine Materiekonzentration, umgeben entweder von Vakuum oder zumindest von einem fast leeren Raum (also einer Region mit sehr geringer Krümmung). In zwei Dimensionen ist das didaktische Bild ein abgerundeter Kegel.

...Ein abgerundeter Kegel besteht aus zwei Elementen: einer sphärischen Kuppel mit konstanter Krümmung (bzw. konstanter "Krümmungsdichte") und einem Kegelstumpf. Der Kegelstumpf ist "eben", seine Krümmungsdichte ist null. Es ist eine euklidische Fläche. Dies ist das didaktische 2D-Bild eines Himmelskörpers mit konstanter Massendichte r.

...Auf dem Weg dorthin könnte man sich fragen, wie man einen Kegelstumpf perfekt mit einer sphärischen Kuppel verbinden kann, sodass die Tangentialebene stetig bleibt.

...Das ist einfach. Der Kegelstumpf wird aus einem Kegel hergestellt, der einen Ausschnitt mit dem Winkel q erfordert. Die sphärische Kuppel enthält eine bestimmte "Menge an Krümmung", die ebenfalls ein Winkel ist. Es ist die Summe aller Winkel der kleinen Kegel, aus denen sie besteht. Diese beiden Winkel müssen gleich sein.

Aber wie kann man die Menge an Krümmung in einer gegebenen sphärischen Kuppel bestimmen?

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