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Gesamtkrümmung.
** **...Wir können eine Kugel herstellen, indem wir Mini-Posicônen aneinanderlegen. Bei dieser Operation wird diese Oberfläche mit konstanter Krümmung (oder Krümmungsdichte oder lokaler Krümmung) sich jedoch schließen. Sie enthält also eine bestimmte Krümmung, aber welche?
...Wenn ich ein geodätisches Dreieck auf einer Kugel zeichne, umschließt es eine bestimmte Anzahl von Mini-Posicônen, eine gewisse „Menge an Krümmung“, die ein Winkel ist. Diese ist einfach proportional zur Fläche des Dreiecks oder genauer zum Verhältnis zwischen der Fläche s des Dreiecks und der Fläche S der Kugel.
...Wir haben jedoch oben gesehen, dass, wenn wir ein geodätisches Dreieck auf einer Oberfläche zeichnen, die aus aneinandergereihten Posicônen besteht, die Abweichung von der euklidischen Winkelsumme gleich der Summe der an den Ecken konzentrierten Krümmungen ist, die jeweils den in unserem Dreieck enthaltenen Kegeln zugeordnet sind. Es genügt also, die Summe der Winkel a, b, g des oben gezeichneten Dreiecks zu messen, das aus drei geodätischen Bögen der Kugel besteht, um eine Messung der Menge an winkelhafter Krümmung zu erhalten, die in diesem Dreieck enthalten ist. Die Geodäten der Kugel sind ihre „großen Kreise“.
...Teilen wir unsere Kugel in acht gleiche Teile. Wir erhalten acht Dreiecke aus geodätischen Bögen, deren drei Winkel rechte Winkel sind.
...Jedes dieser Dreiecke enthält also eine Krümmung von p/2. Da es acht solche Dreiecke gibt, beträgt die Gesamtkrümmung der Kugel somit 4p.
...Dieser kleine Hinweis soll zeigen, dass man geometrische Ergebnisse mit extrem einfachen Überlegungen herstellen kann.
...Zurück zum Thema des abgerundeten Kegels sehen wir, dass die Flanke des Objekts von der Menge an Krümmung abhängt, die „innerhalb“ enthalten ist, wobei diese Krümmung punktförmig (kegelartiger Punkt) oder über eine sphärische Kuppel verteilt sein kann. Man kann die Kuppel beliebig klein werden lassen, indem man sie homothetisch verkleinert (derart, dass sie immer noch die gleiche „Menge an Krümmung“ enthält).
Bahnen.
...In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die zentrale Idee einfach: die Bahnen von Objekten, Teilchen, Photonen oder Materie als Geodäten zu betrachten. Natürlich sind dies Geodäten einer vierdimensionalen Hypersurface. Daher haben wir hier ebenfalls nur didaktische Bilder.
Wenn wir unseren abgerundeten Kegel nehmen, können wir darauf Geodäten zeichnen und sie auf eine Ebene projizieren.
...Alle Teilchen folgen Geodäten der Hypersurface: sowohl Materieteilchen als auch Photonen und Neutrinos. Deshalb haben wir uns amüsiert, eine Geodäte zu zeichnen, die das Objekt vollständig durchquert. Ein Neutrino kann die Sonne problemlos durchqueren.
...Aber was ist diese Ebene, auf die wir diese Geodäten projizieren? Das ist die Art und Weise, wie wir den Raum darstellen. Unser „mentales Universum“ ist vollständig euklidisch und unsere Denkweise „flach“. Wenn wir eine Kometen sehen, die die Sonne streift, würde uns niemals der Gedanke kommen, dass sie eigentlich „geradeaus“ geht, also einer Geodäte der Hypersurface folgt. Unsere Wahrnehmung der Welt ist die Abbildung 24', in der ein Himmelskörper „Objekte anzieht“, die in seiner Nähe vorbeifliegen.
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