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Konjugierte Geometrien.
...Wir werden nun einen stumpfen Posikön und einen „stumpfen Negakön“ verknüpfen, die jeweils dieselbe Krümmungsmenge besitzen, jedoch entgegengesetztes Vorzeichen: +q und –q. Man kann sie gegenüberstellen (wobei man gleichzeitig eine „Punkt-für-Punkt-Zuordnung“ schafft: bijektiv, injektiv). Es entstehen dann zwei Flächen. Nennen wir sie F und F*. Jedem Punkt von F entspricht ein Punkt von F*.
...Versuchen wir, dafür zu sorgen, dass die kreisförmigen Konturen der „abgerundeten Teile“, die Krümmung tragen (positiv in einer Fläche, negativ in der anderen), punktweise übereinstimmen. Dies illustrieren wir durch Projektion auf eine Ebene. Man erhält zwei Flächen mit konjugierter Krümmung.
...Die kegelförmigen Flächen sind „nicht gekrümmt“, sie sind Elemente euklidischer Flächen. Man sagt, dass an jedem Punkt dieser Flächen die lokale Krümmung null ist. Die sphärische Kappe und die Sattelfläche entsprechen sich punktweise. Ihre Krümmungen sind entgegengesetzt.
Die Allgemeine Relativitätstheorie.
...Ausgangspunkt ist die Vorstellung, dass die Geometrie des Kosmos durch seinen Inhalt an „Energie-Materie“ bestimmt wird. Dabei verwenden wir den Begriff Energie-Materie und nicht nur Materie, was deutlich macht, dass jeder kosmische Inhalt die Geometrie beeinflusst, einschließlich Strahlung, Photonen (oder Neutrinos). Wie oben gezeigt wurde, erzeugt ein Photon eine kleine positive Krümmung im Raum.
...Zunächst wollen wir in Ruhe betrachten. Eine ebene, freie Fläche ist eine Fläche, auf der die Spannung null ist. Man kann ihre Geometrie verändern, indem man Spannungen, positive oder negative (das Vorzeichen ist eine Frage der Konvention), erzeugt. Wenn ich beispielsweise einen Kunststofffilm erhitze, kann ich eine Blase erzeugen, also einen Bereich mit positiver Krümmung.
...Ich kann auch auf die Oberfläche eines Papierblatts eine Substanz aufbringen, die beim Trocknen schrumpft. Die Spannung erzeugt einen Bereich mit negativer Krümmung.
...Ein Blechschmied weiß, wie man mit diesen Spannungen arbeitet, um ein Blech zu verformen. Nehmen wir beispielsweise einen Metallrohr. Ich erhitze eine Seite, kühle die andere ab. Was wird passieren?
Das Rohr wird sich krümmen, die erhitzte Seite dehnt sich aus, die abgekühlte Seite zieht sich zusammen.
...Dabei haben wir Spannungen im Metall erzeugt. Dies ist die Herkunft des Wortes Tensor in Mathematik und Geometrie. Der Fachmann für Werkstofffestigkeit spricht von Spannungstensor. Der Geometer spricht von Krümmungstensor.
Die oben beschriebene kleine Erfahrung illustriert die Idee:
Lokaler Energieinhalt -----> lokale Geometrie
...In der Allgemeinen Relativitätstheorie verfährt man ähnlich. Der Unterschied besteht darin, dass dieser lokale Energie-Materie-Inhalt die Geometrie einer vierdimensionalen Hypersfläche bestimmt und nicht wie hier die Geometrie einer zweidimensionalen Fläche. Die Idee ist jedoch ähnlich.
...Der Mathematiker wird dann eine tensorielle Schreibweise verwenden. Für Nicht-Mathematiker lässt sich hier kaum mehr sagen. Doch der Einstein-Tensor S (wir verwenden Fettschrift) entspricht dem geometrischen Aspekt. In der Einstein-Gleichung wird er einem anderen Tensor T identifiziert, der den Energie-Materie-Inhalt beschreibt, bis auf einen multiplikativen Faktor, die „Einstein-Konstante c“.
Die berühmte Einstein-Gleichung lautet daher:
**S **= c T
...Im Tensor T treten die Volumenmasse dichte r und der Druck p auf (tatsächlich ist der allgemeinste Tensor T komplexer, aber wir beschränken uns hier auf diese übliche Darstellung). In einer stationären Konfiguration geben wir also eine bestimmte Verteilung von Dichte und Druck r(x,y,z), p(x,y,z) vor. Damit kann man den Tensor T konstruieren, der somit alle Daten des Problems enthält. Die Frage lautet nun: „Welche Geometrie passt zu diesem Tensor T, der obige Gleichung erfüllt?“
...Anders ausgedrückt: Der Physiker, der den lokalen Inhalt des Universums kennt, versucht, die Geometrie der Universum-Hypersfläche zu bestimmen. Was Geometrie bedeutet, bedeutet Geodäten. Hier kommt die zweite Annahme der Allgemeinen Relativitätstheorie ins Spiel:
Man nimmt an, dass Objekte, die sich im Universum bewegen,
Geodäten der Raum-Zeit-Hypersfläche folgen.
Unter Objekt verstehen wir Teilchen (sogenannte Elementarteilchen, Photonen, Neutrinos), aber auch Planeten, Sterne usw.
Zu diesem Zeitpunkt eine Bemerkung: Wo sind die Teilchen in all dem?
...Antwort: Der Spezialist der Allgemeinen Relativitätstheorie arbeitet makroskopisch. Die Eingabefunktionen des Problems, die Volumenmasse dichte r und der Druck p, entsprechen einer makroskopischen Beschreibung des kosmischen Inhalts. Genauso verhält es sich mit der „Ausgabe“. Und der Geometer fügt hinzu:
- Sie haben mir Funktionen r(x,y,z) und p(x,y,z) gegeben, ich habe die dazugehörige Hypersfläche mit ihren Geodäten-Familien konstruiert. Aber ich kann nicht mehr tun. Insbesondere bin ich unfähig, Ihnen Teilchen, Atome usw. zu erzeugen. Dafür wenden Sie sich an einen anderen Dienst...
Klar: Der Brückenschlag zwischen der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Teilchenphysik ist noch nicht errichtet.
Doch der Astronom sagt:
- Egal. Diese Annahme, dass Photonen bestimmten Geodäten dieser Hypersfläche folgen, funktioniert. Beweis: Ich kann Beobachtungen machen. Wenn ich annehme, dass Planeten, die als punktförmige Massen betrachtet werden, ebenfalls Geodäten dieser Hypersfläche folgen, kann ich ihre Bahnen berechnen. Es gibt auch gravitative Linseneffekte...
Er hat recht.
...Diese gravitativen Linseneffekte sollen kurz erwähnt werden. Natürlich ist dieses Bild des abgerundeten Kegels nur eine didaktische Vorstellung. Ein Planet, der sich kreisförmig um eine Sonne bewegt, folgt ebenfalls einer Geodäte der Raum-Zeit. Doch ein Kreis, der auf einem abgerundeten Kegel gezeichnet ist, ist keine Geodäte:
Dies zeigt lediglich die Grenzen didaktischer Bilder, selbst wenn sie geometrisch sind.
...Photonen folgen tatsächlich Geodäten der Raum-Zeit-Hypersfläche. Man kann dieses Bild des abgerundeten Kegels zur Illustration nutzen. Lichtstrahlen können sich auf beiden Seiten eines massiven Objekts bewegen und dann auf den Beobachter zulaufen. Wenn wir diese Geodäten projizieren, erhalten wir ein Phänomen wie ein Spiegelbild: Der Beobachter hat den Eindruck, zwei Quellen statt einer zu sehen:
../../../bons_commande/bon_global.htm
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