f108
| 8 |
|---|
Invarianz gegenüber Koordinatentransformationen.
...Das ist ein zentraler Begriff der Allgemeinen Relativitätstheorie, der nicht leicht zu erklären ist. Wir sagten, dass die Suche nach einer „kosmologischen Lösung“, stationär oder instationär, darauf hinausläuft, eine vierdimensionale Hypersfläche zu konstruieren, die eine „Lösung der Feldgleichung“ ist.
...Nehmen wir beispielsweise ein Blechobjekt mit der Topologie der Kugel. Das ist „eine Blechkugel“. Man kann sich gut vorstellen, dass man diese Oberfläche durch gezieltes Erhitzen und Abkühlen verformen kann. Wenn man beispielsweise an einem Punkt erhitzt und die entgegengesetzte Region abkühlt, wird die Kugel zu einem Ei. Ein Ei ist ein Objekt mit der Topologie der Kugel, aber mit einer veränderlichen Krümmung.
...Durch Erhitzen an einer Stelle und Abkühlen an einer anderen entstehen Spannungen im Metall. Natürlich, da dieses Material leitend ist, würde sich die Temperatur, wenn man aufhört zu heizen und abzukühlen, ausgleichen und das Objekt seine ursprüngliche kugelförmige Gestalt zurückgewinnen. Entscheidend ist, dass man eine stationäre Situation mit einem nicht einheitlichen Temperaturfeld erzeugen kann. Dieses Feld erzeugt Spannungen, die man konkret als ein mathematisches Objekt T darstellen könnte, das Tensor genannt wird.
Etwas beschreibt die Geometrie des Objekts. Das nennt man eine Metrik. Aus diesem zweiten mathematischen Objekt kann man folgendes berechnen:
- den geometrischen Tensor S – die Geodäten der Oberfläche berechnen.
Die Geometrie dieser Oberfläche könnte aus einer Gleichung berechnet werden, die der Einsteinschen Gleichung ähnelt, etwa:
S = a T
wobei a eine Konstante ist. Kennt man a priori das Temperaturfeld im Blech, also den Spannungstensor, könnte man daraus die Geometrie ableiten. Die beste Art, diese Geometrie zu „lesen“, wäre die Analyse des Systems der Geodäten. Wir kennen die der Kugel (ihre „Großkreise“). Die Geodäten eines Eis sind anders.
...Um diese Geodäten zu beschreiben, brauchen wir ein Koordinatensystem auf der Oberfläche. Für die Kugel können wir das klassische Azimut-Ort-System verwenden.
...In diesem speziellen Koordinatensystem entsprechen die Geodäten der Kugel bestimmten Gleichungen.
Auf dieser Kugel stellen die Kurven q = konst die Familie der Geodäten dar, die durch zwei Punkte gehen. Die Kurven j = konst (Parallelen) sind hingegen keine Geodäten der Oberfläche.
...Man könnte auch ein analoges Koordinatensystem definieren und die Gleichungen der Geodäten der „Eifläche“ aufschreiben. Doch man bemerkt sofort eine wesentliche Tatsache: Die Geodäten der Oberfläche sind unabhängig von den gewählten Koordinaten, genauso wie die Punkte einer Kugel oder eines Eis existieren, unabhängig vom Koordinatensystem, das man zur Beschreibung verwendet.
...Ebenso kann man Punkte in einer Ebene in kartesischen oder polaren Koordinaten darstellen. Die Geraden der Ebene sind Geodäten.
Eine Gerade kann in zwei verschiedenen Koordinatensystemen beschrieben werden:
...Es handelt sich um die gleiche Geodäte, jedoch mit völlig unterschiedlicher Beschreibung. Die Geraden der Ebene existieren unabhängig davon, wie man sie beschreibt, unabhängig vom gewählten Koordinatensystem. Man kann sich... unendlich viele solcher Geraden vorstellen.
...Was ist also intrinsisch? Antwort: die Länge s, gemessen entlang einer Geraden (oder entlang einer beliebigen gekrümmten Kurve). Zwischen zwei Punkten M1 und M2 einer Fläche ist der kürzeste Weg eine Geodäte.
...Ebenso ist die Entfernung zwischen zwei Punkten entlang einer Geodäte bei Objekten mit der Form „Kugel“ oder „Ei“ eine Größe, die unabhängig vom gewählten Koordinatensystem ist. Wenn man zwei Punkte M1 und M2 auf einer Fläche nimmt und den geodätischen Bogen verbindet, der sie verbindet, ist die Länge s, gemessen entlang dieses Bogens, unabhängig vom Koordinatensystem, das man zur Beschreibung der Punkte verwendet.
...Das Gleiche gilt für die vierdimensionale Hypersfläche, die wir „Universum“ nennen. Sie besitzt ihr eigenes System von Geodäten, das ebenfalls invariant gegenüber Koordinatentransformationen ist. Wir leben nicht in einem Raum (x, y, z, t) mit räumlichen Koordinaten und einer Zeitkoordinate, sondern in einer vierdimensionalen Hypersfläche, die vollständig durch ihr Netz von Geodäten beschrieben werden kann. Auf diesen Geodäten existiert eine Länge s, die ebenfalls invariant gegenüber Koordinatentransformationen ist. Die Punkte dieser Hypersfläche sind keine räumlichen Punkte mehr, sondern Punkte einer Raum-Zeit-Hypersfläche. Man nennt sie Ereignisse. Zwei verschiedene Ereignisse sind daher durch etwas getrennt, das man s nennt. Aber was ist das?
Das ist die eigentliche Zeit.
...Eine geodätische Bahn in dieser Raum-Zeit-Hypersfläche trennt zwei Ereignisse M1 und M2. Alles, was ich sagen kann, ist, dass, wenn ich ein Fahrzeug verwendet hätte, um diese Reise durch Raum und Zeit zu unternehmen, auf meiner Borduhr genau die Zeit s vergangen wäre.
Die Wahl eines Koordinatensystems bedeutet, die Punkte von Raum und Zeit durch räumliche Koordinaten (x, y, z) und eine Zeitkoordinate t zu beschreiben. Doch da diese Wahl willkürlich ist, haben Raum und Zeit keine intrinsische Existenz. Sie sind nur verschiedene Weisen, die Oberfläche zu „lesen“ und zu durchqueren. Eine einzige Einschränkung: Abhängig von der getroffenen Annahme kann man sich nur entlang von Geodäten bewegen, und auf diesen ist das einzige Verlässliche, an das man sich halten kann, die „eigentliche Zeit“ s, nicht die Zeit t, die nur ein zeitlicher Bezugssystem (chronological marker) ist.
Für jede Wahl des Koordinatensystems ergibt sich ein anderes Lesesystem für Ereignisse und Phänomene.
...Die Physiker suchten daher einen Formalismus, der unabhängig von der Wahl der Koordinaten ist. Das ist die Essenz des Tensorformalismus. Über dieses Thema kann man hier nicht weiter sprechen, ohne in relativ komplexe technische Details einzugehen.
Das Problem der Singularitäten.
Auf einer Kugel führt die klassische Wahl der Winkelkoordinaten zu zwei polaren Singularitäten.
Es ist unmöglich, eine Kugel zu kartografieren, ohne solche polaren Singularitäten einzuführen.
...Es ist bemerkenswert, dass man eine Kugel auch mit einer einzigen Singularität kartografieren kann. Man erzeugt auf der Kugel eine erste Familie von Kurven (Kreise), indem man sie mit Ebenen schneidet, wie unten dargestellt:
Dann eine zweite Familie:
Außerhalb dieser einen Singularität gibt es keine Probleme. Wenn man die Kugel von der anderen Seite betrachtet, sieht man Folgendes:
...Außerhalb der einzigen Singularität S können die Punkte problemlos lokalisiert werden. Doch die Werte der Parameter a und b, die diese Gitter-Singularität S definieren, sind ... willkürlich...
...Trotzdem ist eine Kugel geometrisch und intrinsisch nicht singulär. Drehen Sie eine Billardkugel oder ein Ei in alle Richtungen, Sie werden keinen singulären Punkt finden.
Diese Singularitäten wurden also durch die Wahl der Koordinaten erzeugt.
../../../bons_commande/bon_global.htm
Inhaltsverzeichnis
Artikel Inhaltsverzeichnis
Wissenschaft Startseite
**
Anzahl der Aufrufe dieser Seite seit dem 1. Juli 2004** :