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Es werden jedoch echte geometrische Singularitäten geben:
usw....
..Beim Vorbeigehen ist die Falte ein besonderer Bereich der Fläche, der eine lineare Krümmung enthält, links negativ, rechts positiv. Absichtlich wurden diese beiden Flächen mit sphärischen Kappen hergestellt. Das Endobjekt hat die Topologie einer Kugel. Es besitzt daher eine Gesamtkrümmung von 4π. Angenommen, das Objekt links wurde aus zwei Dreiviertelkugeln (aus Kugeln mit gleichem Radius) zusammengesetzt. Diese Komponenten entsprechen jeweils einer Krümmung von 3π. Insgesamt 6π. Man weiß daher sofort, wie viel Krümmung (negativ) die Falte enthält: -2π. Diese ist gleichmäßig entlang der kreisförmigen Falte verteilt. Man kann daher die Winkelsumme des Dreiecks ABC berechnen. Indem man die Fläche misst, kennt man zunächst die Menge an Krümmung (winkelförmig), die es enthält. Dies ist:
Man muss die Menge an Krümmung abziehen, die im Bogen mn enthalten ist. Dies ist:
Die Linse hat ebenfalls die Topologie einer Kugel. Daher enthält die Falte eine positive lineare Krümmung von 2π.
...Man kann ebenfalls die Winkelsumme des seltsamen Dreiecks ABC berechnen, das aus drei Geodäten besteht. Die Geodäten überschreiten die Falten mühelos. Sie können dies einfach mit Ihrem Klebeband ausprobieren.
Der Bogen mn enthält die lineare Krümmung: Angenommen, die oben erwähnte Art von Linse wurde aus zwei Viertelkugeln, die identisch sind, hergestellt. Jede enthält eine Krümmung von π. Daher enthält die Fläche (ohne Falte) die Krümmung 2π.
...Indem man die winkelförmige Krümmung im Dreieck ABC und im Bogen-Falte zusammenzählt, kann man den positiven Abstand zur euklidischen Winkelsumme π bestimmen.
Man sieht, dass man diese Krümmungsprobleme für Flächen ziemlich leicht handhaben kann.
...Eine Fläche kann singuläre Punkte oder Falten aufweisen. In diesem Fall handelt es sich um wirklich geometrische, intrinsische Singularitäten, die nicht durch eine Wahl von Koordinaten verursacht werden.
...Beim Vorbeigehen sei darauf hingewiesen, dass diese lineare Krümmung auch auf einen Teil der Fläche verteilt sein könnte. Zum Beispiel ergäbe sich für die linke Abbildung:
...Dies ist der gleiche Ansatz wie oben, bei dem die konzentrierte Krümmung am Scheitelpunkt eines Kegels auf eine sphärische Kappe verteilt wurde (abgerundeter Kegel). Wenn die beiden sphärischen Kappen, aus denen die obige Fläche besteht, beispielsweise jeweils zwei Drittel einer Kugel darstellen, ergibt sich eine Krümmung von
Die graue Fläche enthält eine negative Krümmung C, gleichmäßig verteilt, sodass gilt:
../../../bons_commande/bon_global.htm
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