Darstellungsbereich und Geodäten

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• *Repräsentationsraum.

...Es wurde bereits gezeigt, dass ein Zylinder eine abwickelbare Fläche ist. Nehmen Sie nun ein Blatt Papier. Das ist eine ebene, euklidische Fläche. Ihre Geodäten sind Geraden. Zeichnen Sie einige Geraden auf dieses Blatt und knicken Sie es dann zusammen.

...Wenn Sie diese zusammengerollte ebene Fläche starr machen könnten, würden Sie feststellen, dass diese Operation die Verteilung ihrer Geodäten keineswegs verändert hat; Sie könnten sie erneut mit Ihrem Klebeband nachzeichnen. Sie haben lediglich mit der Art und Weise gespielt, wie diese Ebene in ihren dreidimensionalen Einbettungsraum dargestellt wird.

Eine weniger komplizierte Methode besteht darin, ein Blech in...wellenförmiges Blech zu verwandeln:

Geodäten: unverändert.

...Geometrische Objekte existieren unabhängig davon, wie wir sie darstellen, unabhängig von ihrem Repräsentationsraum.

...Wir sollen uns in einer „vierdimensionalen Hyperfläche“ befinden: der Raum-Zeit. Die Allgemeine Relativitätstheorie besteht darin, ihre Geometrie als Lösung einer Feldgleichung zu konstruieren, und dann diese Geometrie zu „lesen“, indem man die Geodäten der Hyperfläche analysiert. Es ist offensichtlich, dass hier kein Repräsentationsraum mehr eine Rolle spielt. Dazu bräuchte man eine fünfdimensionale Wahrnehmung, die wir nicht besitzen.

...In der Praxis verwenden wir Koordinaten, die denen des euklidischen Raums entsprechen, also Projektionskoordinaten. Stellen wir uns vor, wir suchen eine geometrische Lösung, die geeignet ist, die Raum-Zeit in der Nähe und innerhalb eines massiven Körpers zu beschreiben. Wir nehmen an, dass das System kugelsymmetrisch ist. Außerdem nehmen wir an, dass das System stationär (oder quasi-stationär) ist.

...Wir werden dann kugelige Koordinaten (r, q, j) verwenden. In zwei Dimensionen haben wir nur zwei Koordinaten, und unsere Symmetrie ist kreisförmig. Wir verwenden dann das Polarkoordinatensystem der Ebene:

...Dieses Modell eines abgerundeten Körpers ist eine zweidimensionale didaktische Abbildung einer tatsächlich existierenden stationären Lösung der Allgemeinen Relativitätstheorie, die 1917 vom Österreicher Schwarzschild als spezielle Lösung der „Einstein-Gleichung“ gefunden wurde:

S = c T

die bereits weiter oben vorgestellt wurde. Diese Lösung ist klug und subtil. Rechnerisch ist sie nicht einfach zu konstruieren. Diese Präzision dient dazu, ein Mythos zu zerstreuen: den von einem isolierten Genie Einstein, der in einer Welt von Unwissenden lebte.

...Aus dieser Lösung ergibt sich, dass um eine Masse mit kugelsymmetrischer Struktur ebene Geodäten existieren, die in Ebenen liegen, und ihre Form kann berechnet werden: r = f(q). Diese Bahnen (oder zumindest ihre Projektion in unserem euklidischen Vorstellungsraum) sind „quasi-keplerisch“, und die Keplergesetze erscheinen dann als Näherung, wenn die Masse, die diese Geometrie erzeugt (in der newtonschen Sichtweise die „Kraft“), moderat bleibt, das heißt, wenn die lokale Krümmung innerhalb dieser Masse gering bleibt.

...Diese Lösung ist einer der Eckpfeiler der Allgemeinen Relativitätstheorie, und obwohl dies nicht durch einfache didaktische Bilder wie die, die wir dem Leser hier bieten, vermittelt werden kann, ist sie es, die es ermöglicht, beispielsweise die Periheldrehung des Merkur vorherzusagen und zu berechnen. Einstein nutzte diese Lösung, um diesen Effekt zu erklären, der bereits bekannt war, und erhielt dabei gleichzeitig alle Lorbeeren für das, was nun „die Einstein-Theorie“ hieß. Warum nutzte Schwarzschild seine Entdeckung nicht selbst aus? Weil er unbedingt in die Schlacht ziehen und an die Front gehen wollte, wo er vergast wurde und kurz darauf starb.

...Es ist übrigens nicht sicher, dass diese berühmte Einstein-Gleichung tatsächlich von ihm stammt. Anscheinend wurde sie ihm vom großen Mathematiker Hilbert vorgeschlagen. Auch die spätere Entdeckung des Russen Friedmann, der die instationäre Lösung der Feldgleichung fand, die die Entwicklung des Universums beschreiben kann, wurde von Einstein nicht mit Begeisterung aufgenommen. Gleiches gilt für die Arbeiten des jungen Mathematikers Kaluza aus dem Jahr 1921, deren Wiederentdeckung heute den Ausgangspunkt der Superstringtheorie bildet. Diese Dinge sind wissenschaftlich von geringem Interesse und schmälern keineswegs den Wert Einsteins, zeigen aber, dass sportliche Einstellung keineswegs mit wissenschaftlichem Wert eines Individuums korreliert.

In der von Schwarzschild entwickelten Lösung ist der Raum technisch in zwei Teile unterteilt. Innerhalb des Himmelskörpers wird die Materiedichte r als konstant angenommen. Der Energie-Materie-Tensor T, von dem sie abhängt, ist ebenfalls nicht null. Außen ist r und T null.

...Diese zusammengesetzte Geometrie ist daher Lösung zweier verschiedener Gleichungen, mit oder ohne rechte Seite. Die Materiedichte zeigt eine Diskontinuität an der Oberfläche des Himmelskörpers (ebenso wie bei dem Paar Schwarzschild-Lösung „innerhalb“ und Schwarzschild-Lösung „außen“). In diesem Fall ist der Himmelskörper eine Kugel mit konstanter Dichte, die plötzlich an der Oberfläche auf null fällt. Dennoch kann die Stetigkeit der Geodäten durch mathematische Bedingungen gewährleistet werden, deren Abbildung bereits oben gezeigt wurde (Übergang Kegelstumpf-Kugelkappe).

...Wenn die Masse groß wird und die Krümmungseffekte ausgeprägt sind, weichen die Bahnen deutlicher vom keplerischen Modell ab, beispielsweise in der Nähe eines Neutronensterns. Im Folgenden die Periheldrehung um einen solchen Himmelskörper (um die Sonne beträgt die Periheldrehung der Merkur-Bahn 0,15 Grad pro Jahrhundert).

...Die Formel und das Programm, die die Berechnung dieser Bahnen ermöglichen, sind übrigens nicht kompliziert. Wir werden sie eines Tages auf dieser Seite für Neugierige veröffentlichen.

...Im Moment legen wir einige geometrische Grundlagen für spätere Diskussionen an, wobei wir darauf hinweisen, dass die angegebenen Modelle lediglich indikativ sind.

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