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Mögliche Probleme bei der Wahl eines Koordinatensystems.
...Wir werden die Risiken betrachten, die entstehen, wenn man ein Koordinatensystem auf eine geometrische Lösung aufprägt und diese Lösung in diesem speziellen Koordinatensystem darstellt: Voraussetzung ist, dass dieses System angemessen ist. Wenn wir uns die oben dargestellte Lösung ansehen, unter der Annahme, dass diese Geometrie eine Lösung einer Feldgleichung ist, dann setzte die Verwendung eines Koordinatensystems (r, q) voraus, dass die Topologie „lokal sphärisch“ sei, selbstverständlich in zwei Dimensionen. Das heißt, innerhalb jedes Kreises, der „um diesen hypothetischen geometrischen Mittelpunkt“ zentriert ist, ließe sich immer ein kleinerer Kreis einbeschreiben, bis dieser schließlich zu einem Punkt wird. Mathematisch würde man sagen, dass jeder Kreis mit Radius r eine „kontrahierbare Zelle“ begrenzt.
...In 3D wäre das Universum lokal „wie russische Puppen“. Innerhalb einer Kugel ließe sich immer eine Kugel mit kleinerer Oberfläche einbeschreiben. In 3D handelt es sich um eine lokale sphärische Topologie.
Kann es anders sein?
Ja, wenn die Topologie der Fläche „lokal toroidal“ ist. In 2D ergibt sich folgendes:
...Hinweis: Das Objekt in der obigen Abbildung ist eine 2D-Fläche im Sinne, dass man zwei Parameter benötigt, um die Position eines Punktes darauf zu bestimmen. In diesem Sinne ist eine Kurve eine „Oberfläche mit einer Dimension“. Wenn der Geometer vom Kreis spricht, wird er den Ausdruck „Sphäre S1“ verwenden, also „eindimensionale Sphäre“: Es genügt ein einziger Parameter, die Koordinate, um einen Punkt auf einer eindimensionalen Kurve zu lokalisieren. Die Sphäre S2, die „gewöhnliche Sphäre“, und der Kreis, die Sphäre S1, haben etwas gemeinsam: Sie sind „geschlossene“ Objekte (ein Begriff, der damals aus der Topologie entlehnt wurde).
...Diese Anzahl an Größen, die zur Definition der Position eines Punktes in einem Raum benötigt wird, ist genau die Definition der Dimension dieses Raums. Daher betrachtet man den Raum-Zeit-Raum (x,y,z,t) als eine vierdimensionale Hyperfläche, da vier Größen erforderlich sind, um einen Punkt, einen „Ereignis“, darin zu definieren.
Ende dieser Bemerkung zum Begriff der Dimension.
...Man sollte stets bedenken: Der Geometer, der eine spezielle Lösung einer Feldgleichung konstruiert, ist blind; er kann das geometrische Objekt, das er erhält, nicht sehen. Er kann es nur durch seine Geodäten erforschen, indem er diese in einem bestimmten Koordinatensystem beschreibt. Die eben erwähnten Polarkoordinaten entsprachen der Schnittmenge der Fläche mit einer Familie konzentrischer Zylinder:
und mit einer Familie von Ebenen, die die gemeinsame Achse dieser Zylinder enthalten.
In 3D würde es sich um den Schnitt des Raums mit einer Familie konzentrischer Kugeln handeln.
...Was geschieht aber, wenn man die Fläche mit diesem Art von röhrenförmigem Brückenelement mit einer Familie konzentrischer Zylinder schneidet? Solange die Zylinder die Fläche schneiden, ist alles in Ordnung. Doch sobald der Umfang der Zylinder kleiner wird als der des „Halskreises“, werden diese Schnitte zu ... imaginären Kurven. Sei p der Umfang des Halskreises. Ordne ihm eine Länge Rg zu, sodass p = 2πRg.
...Es ist klar, dass jeder Zylinder der Familie mit r < Rg die Fläche nicht schneidet. Wenn der Geometer die Gestalt der Geodäten der Fläche für r < Rg untersucht, wird er imaginäre geometrische Objekte finden.
...Wenn man den Schnitt zweier Punkte mit einer Geraden, beispielsweise x = x₀, berechnet, erhält man zwei reelle Werte für y, wenn die Gerade den Kreis tatsächlich schneidet. Andernfalls sind diese Werte rein imaginär.
...Wenn ein Mensch eine Fläche im Dunkeln erforscht, ohne deren Form wahrnehmen zu können, und wenn er nicht weiß, dass die Topologie dieser Fläche lokal toroidal ist, könnte er äußerst verwirrt sein.
Die Fläche lässt sich durch zwei Familien von Kurven beschreiben:
...Jede Kurve ist durch einen Parameter definiert. Ein Punkt M, der Schnittpunkt dieser beiden Kurven, ist eindeutig durch zwei Größen (a,b) bestimmt, die beiden Werte der Kurven, die durch M verlaufen.
...Die erste Familie besteht aus Kreisen, die keine Geodäten der Fläche sind (außer dem Halskreis), die zweite aus Geodäten mit hyperbolischer Form, die senkrecht auf diesen Kreisen stehen. Die hyperbolischen Kurven erinnern an fallende Bahnen, die es ermöglichen, von einer Fläche zur anderen zu gelangen.
Natürlich kann man dieselbe Situation auch in einem 3D-Raum mit lokaler hyper-toroidaler Topologie haben. Die Kreise werden dann durch eine Familie von Kugeln ersetzt, unter denen sich eine Halskugel mit minimaler Oberfläche befindet. Die Linien, die senkrecht auf dieser Kugelfamilie stehen, bilden fallende Bahnen, die es ermöglichen, durch diesen hyper-toroidalen Tunnel hindurchzugehen und in einer anderen 3D-Fläche (oder Schicht) wieder aufzutauchen.
...Diese Bemerkung ist nicht willkürlich. Wir werden später Gelegenheit haben, darauf zurückzukommen, wenn wir das Schwarze-Loch-Modell untersuchen. Tatsächlich wird in diesem Modell die Masse einer Teilchen, wenn man „innerhalb der Horizontkugel“ eindringt, zu einer rein imaginären Größe (und noch vieles andere). Man ist dann berechtigt zu fragen, ob man noch in der Hyperfläche Raum-Zeit ist. Ist die spezielle Wahl der Koordinaten (t, r, q, j), die eine lokale hyper-sphärische Topologie impliziert (die Existenz einer radialen Koordinate r, die Werte unterhalb des Radius der Horizontkugel, der Schwarzschild-Kugel, annehmen kann), sinnvoll?
Ein bekannter Astrophysiker schrieb vor einigen Jahren:
- Wir wissen jetzt viel mehr über das Innere von Schwarzen Löchern.
Aber haben Schwarze Löcher, falls sie existieren, überhaupt ein Inneres, oder entsprechen sie einer lokalen hyper-toroidalen Topologie?
...Man sieht, welche Auswirkungen die Wahl eines Koordinatensystems haben kann. Die geometrische Lösung existiert. Sie besitzt Geodäten. Doch wir können dies nur „lesen“, indem wir es in unseren mentalen Vorstellungsräumen abbilden: in einem euklidischen Raum-Zeit-Raum, der gar nicht relativistisch ist. Die Wahl eines Koordinatensystems ist die Wahl eines Lesesystems, eines Projektionssystems.
...Wie die Gestalten bei Platon können wir nur Schatten auf einem „euklidischen Schirm“ beobachten. Doch man muss das richtige Objektiv des „Projektionssystems“ wählen.
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