Geometrie der Kugel und Halbgeraden

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Der geometrische Kontext.

...Eine Kugel ist ein zweidimensionaler Raum. Man benötigt zwei Parameter, um einen Punkt darin zu lokalisieren. Es handelt sich um einen Raum mit einer Topologie (für weitere Details zur Bedeutung des Begriffs Topologie siehe meine Comicreihe „Le Topologicon“, Ed. Belin). Eine Kugel besitzt nicht die gleiche Topologie, die gleiche „Form“ wie ein Torus. Die Kugel besitzt Geodäten. Man kann einen Pfad zwischen zwei Punkten M1 und M2 einzeichnen und die zurückgelegte Strecke s messen. Diese Länge ist unabhängig von der gewählten Koordinatensystem, ebenso wie die Geodäten, die die Fläche bevölkern.

...Verbinden wir den Mittelpunkt dieser Kugel mit allen ihren Punkten. Wir erhalten eine unendliche Menge von Halbgeraden. Diese können mit dem gleichen Koordinatensystem wie die Punkte identifiziert werden, beispielsweise durch zwei Winkel q und j.

Oben unsere Kugel. Wir haben ein Loch gemacht, um die Menge der Vektoren zu zeigen.

Entfernen wir nun die Kugel und behalten nur die Vektoren.

...Diese Halbgeraden wurden abgeschnitten, aber eigentlich sind sie unendlich lang. Jede ist nur durch die Angabe zweier Parameter bestimmt, beispielsweise zweier Winkel. Die metrische Struktur ist verschwunden. Keine Geodäten mehr, keine Längen. Was bleibt übrig?

• Jede Halbgerade hat eine Umgebung. Man kann benachbarte Halbgeraden auswählen, um sie in einer Art Kegel einzuschließen. Innerhalb dieses Kegels kann man einen engeren Kegel zeichnen, der die Halbgerade enthält. Es ist wie bei konzentrischen Kreisen oder russischen Puppen, nur dass hier Strahlenbündel verwendet werden. Aber es geht nicht darum, Geodäten auf diesen Kegeln zu zeichnen. Jede ihrer Erzeugenden ist einfach eine Menge aus zwei Parametern, beispielsweise zwei Winkeln.

• Es besteht eine intuitive Vorstellung von Differenzierbarkeit. Es gibt keine Diskontinuität in dieser „Textur“.

Nehmen wir eine ebene Fläche mit Geodäten, Längen usw.

...Unabhängig vom gewählten Koordinatensystem muss ich die Position meiner Punkte stets mit zwei reellen Zahlen (x,y), (r,q) usw. angeben.

Diese reellen Zahlen stammen aus R², also aus der Menge aller Paare reeller Zahlen, wie (3,8705, –17,56). Jedes Paar von Punkten in diesem Raum der reellen Zahlenpaare hat eine Umgebung. Es ist „kontinuierlich“.

Diese „prämetrischen“ Objekte werden Mannigfaltigkeiten genannt (Mathematiker haben die Gabe, Wörter zu wählen, die für Laien keinerlei Assoziationen hervorrufen).

...An dieser Stelle kann man also diesen Schritt überspringen, bei dem man eine Menge von n reellen Zahlen (Raum mit n Dimensionen) betrachtet, ohne automatisch eine Vorstellung von Länge oder Geodäten damit zu verbinden.

...Es ist ein wenig, als würde man eine Fläche betrachten, deren Punkte nur die Bedingung haben, mit ihren Nachbarn in Kontakt zu bleiben. Sie wäre unendlich elastisch und verformbar. Konventionell repräsentieren wir eine Fläche oft durch ihre Kontur (entweder ihren Rand oder ihre sichtbare Umrandung), und wir erinnern uns an dieses „bewegliche“ Konzept der Mannigfaltigkeit, indem wir einfach die Kontur entfernen:

...Diese Vorstellung erinnert übrigens an den Schatten des Objekts. Und ein Schatten hat weder Konsistenz noch Form. Seine Geometrie hängt von dem Objekt ab, auf das er projiziert wird.

Man kann sich die Mannigfaltigkeit (auf Englisch manifold), ohne ihre Metrik, auch als eine Familie von Geraden vorstellen.

...Hier sind Geraden gezeichnet, die scheinbar parallel sind. Diese Geraden sollten aber eigentlich... beliebig angeordnet sein, solange ihre Nachbarschaftsbeziehungen erhalten bleiben.

...Schließlich ist eine gute Vorstellung einer Mannigfaltigkeit V2 ein Bündel von Nudeln, die man zunächst kocht, dann beliebig biegen und drehen kann, ohne die Reihenfolge der Nudeln untereinander zu verändern.

Trotzdem kann man auf einer Mannigfaltigkeit eine zweifache Überlagerung durchführen, die mit Metriken versehen wird, wie in der folgenden Abbildung angedeutet:

Hier zwei zweidimensionale Blätter mit identischen Metriken (euklidisch). Man kann aber genauso gut folgendes tun:

...Wir nennen M und M* konjugierte Punkte. Die Tatsache, dass die beiden konjugierten Räume als zweifache Überlagerung einer Mannigfaltigkeit konstruiert sind, bedeutet einfach, dass eine Punkt-zu-Punkt-Zuordnung zwischen den beiden Blättern F und F* besteht, aber beispielsweise die Abstände zwischen homologen Punktpaaren (M1,M2), (M1, M2) unterschiedlich sein können. Die einzige Einschränkung ist letztlich, dass die Umgebungen der Punkte ebenfalls korrespondieren müssen und jeder nicht-singuläre Bereich einer Fläche einem ebenfalls nicht-singulären Bereich der anderen Fläche entspricht.

...Wir finden wieder das Bündel flexibler Nudeln von eben. Die Struktur der „Mannigfaltigkeits-Skelett“ dient lediglich dazu, die injektive Abbildung zwischen den beiden geometrischen Objekten herzustellen. Die obige Abbildung soll Fragen wie „Wie sind die Blätter F und F* relativ zueinander angeordnet? Wenn F ein Universum ist, wo ist F*?“ völlig entkräften. Diese Blätter sind einfach konjugiert, mit einer punktweisen Zuordnung, und diese konjugierten Punkte können durch die gleichen Koordinaten beschrieben werden.

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