Konjugierte Krümmungen und lokale Geometrie

Konjugierte Krümmungen.

...Wie kann man sich die Vorstellung einer lokalen Krümmung, positiv oder negativ, in einem dreidimensionalen Raum vorstellen? Nehmen wir eine Kugel. Stecken wir einen Nagel irgendwo hinein. Befestigen wir daran ein Seil der Länge L und befestigen am anderen Ende einen Stift. Wir können nun einen Kreis zeichnen, der ein Parallelenkreis ist. Führen wir dieselbe Operation mit einer Ebene und einer Sattelfläche durch.

...Auf einer Ebene beträgt der Umfang 2πL und die Fläche des Kreises πL².

...Auf der Kugel sind Umfang und Fläche der Kuppel kleiner. Auf einem Sattel sind Umfang und Fläche, die von dieser geschlossenen Kurve eingeschlossen werden, größer. Beispiel: Wenn wir eine Kugel mit Radius R und eine Länge L nehmen, die dem Viertel des Äquatorumfangs entspricht, also πR/2:

...Die Fläche des Kreises ist 3,875-mal größer als die Fläche der kugelförmigen Kuppel. Sein Umfang ist 1,57-mal größer als der Äquator.

...Durch vergleichbare Messungen auf einer Fläche kann man feststellen, ob die lokale Krümmung positiv oder negativ ist. Analoges gilt im dreidimensionalen Raum. Man nimmt dann einen Punkt, ein Seil der Länge L und zeichnet... eine Kugel. Wenn die Fläche dieser Kugel kleiner ist als die euklidische Fläche 4πL², schließt man, dass die lokale Krümmung positiv ist. Wenn diese Fläche kleiner ist als die euklidische Fläche 4πL², schließt man, dass die lokale Krümmung negativ ist. Dasselbe gilt für das Volumen. Beschränken wir uns auf diese qualitativen Überlegungen. In drei und vier Dimensionen kann man eine Größe R, die sogenannte skalare Krümmung, definieren, die sich aus einem Krümmungstensor berechnet.

...Im kosmologischen Modell, das wir vorstellen, entscheiden wir uns dafür, zwei Blätter des Universums so zu konjugieren, dass die Werte der lokalen skalaren Krümmung an konjugierten Punkten invers sind:

R* = - R

...Das ist die rein geometrische Betrachtungsweise. Es ist dann leicht, eine anschauliche zweidimensionale Darstellung zu geben, unter Berücksichtigung der üblichen Vorbehalte hinsichtlich der tatsächlichen Tragweite solcher Darstellungen. Es ist das Bild in der folgenden Abbildung:

Oben: Ein abgerundeter Posikone. Die lokale Krümmung ist auf dem Kegelstumpf null und positiv in der kugelförmigen Kuppel.

Unten: Ein abgerundeter Negakone. Die Krümmung ist auf dem Negakonstumpf null und negativ in der Sattelfläche.

...Wir haben das Objekt und die Geodäten auf zwei euklidische Darstellungsebenen projiziert. Die erste ist die eines physikalisch im Blatt F befindlichen Beobachters, der das massive Objekt sehen kann, aber die Testpartikel, die im Blatt F* wandern, nicht.

...Die Unsichtbarkeit eines Objekts in einem Blatt für einen Beobachter im anderen Blatt ist rein geometrischer Natur. Wir nehmen an, dass Photonen Geodäten (spezielle Kurven) jedes Blatts folgen. Photonen j wandern im Blatt F (unserem Universumsblatt), und Photonen j, die wir „Geisterphotonen“ (ghost photons) nennen können, wandern im Blatt F, dem „Geisteruniversum“. Die Tatsache, dass die beiden Blätter eine disjunkte, nicht zusammenhängende Menge bilden, verbietet jedem Photon aus einem Blatt, in das andere zu gelangen.

...Der „Ablauf“ eines solchen geometrischen Systems ist weniger kompliziert, als es zunächst scheint.

...Das Blatt F hat seine eigene Geometrie, die vollständig durch eine „Metrik“ g beschrieben wird, aus der man sein Geodäten-System konstruiert. Aus dieser Metrik g kann man einen geometrischen Tensor S konstruieren und ihn mit einem Tensor T identifizieren, der die „Quelle des Feldes“ ist, die Ursache dieser Krümmung, indem man die Einstein-Gleichung schreibt:

S = c T

Die Geometrie des zweiten Blatts, bei der die skalare Krümmung invers ist, entspricht einer Metrik g*, aus der man einen geometrischen Tensor S* konstruieren kann. Die Umkehrung der Krümmung ergibt sich einfach aus:

S* = - S = - c T

...Was keinesfalls bedeutet, dass g* = -g. Die Gleichungen sind nichtlinear. Die Metrik g* erzeugt ebenfalls Geodäten.

...Betrachten wir eine Geodäte des Blatts F und zeichnen die Kurve der entsprechenden konjugierten Punkte im anderen Blatt. Das ist keine Geodäte dieses Blatts.

Umgekehrt:

...An welcher Stelle sind wir jetzt? Wir haben dem Universum (angenommen, es sei das Blatt F, unser eigener Raum-Zeit-Raum) einen Zwilling verliehen. Die Materie in unserem Universum (der Tensor T) bestimmt seine Geometrie, aber sie bestimmt auch die des Zwillings. Wir nehmen an, dass unser Universum nur positive Massen und allgemeiner Teilchen mit positiver Energie enthält. Wir betrachten nicht die Möglichkeit negativer Massen in unserem Raum-Zeit-Blatt. Der Tensor T ist daher entweder positiv dort, wo Energie-Materie vorhanden ist, oder null dort, wo ein Vakuum herrscht. Die lokale Krümmung von F ist daher entweder null oder positiv, aber niemals negativ.

...Die Krümmung des Blatts F* (wir sprechen dann von induzierter Krümmung) ist hingegen entweder null oder negativ.

...Wenn es Teilchen in diesem Blatt gibt, nehmen wir an, dass sie ebenfalls Geodäten dieses Blatts folgen. Was stellen wir bei Betrachtung der obigen Abbildung fest? Das graue Objekt, diese Masse in unserem Universum, im Blatt F, verhält sich im Blatt F* wie ein abstoßendes Objekt (siehe Krümmung der Geodätenbahn).

...Wir haben eine exakte mathematische Lösung für dieses Paar von „konjugierten Metriken“ (g, g*) konstruiert. [Siehe auf der Website: Papier Geometrische Physik B]. Die Lösung g ist identisch mit dem, was wir die äußere (außerhalb des Himmelskörpers) und innere (innerhalb des Himmelskörpers) Schwarzschild-Metriken genannt haben. Wir schlagen vor, die zweite Metrik „Anti-Schwarzschild“ zu nennen. [Siehe auf der Website: Geometrische Physik A, 7, das Papier 2: Konjugierte stationäre Metriken. Exakte Lösungen.]

Mit „Geistermaterie“.

In dieser Sichtweise konjugierter Geometrien kann man die Situation umkehren und annehmen, dass sich eine Masse (positiv) irgendwo im Blatt F* befindet. Dort erzeugt sie dann eine positive Krümmung, und die anschauliche zweidimensionale Darstellung dieser Geometrie entspricht dem abgerundeten Kegel, einer Schwarzschild-Lösung, aber im Blatt F*.

...Dasselbe gilt für die Art und Weise, wie Beobachter aus verschiedenen Blättern die Wirkung dieser Masse auf eine Testpartikel, die in ihrem Universum wandert, wahrnehmen.

...Die Betrachtung der obigen Abbildung ermöglicht es uns, die Wechselwirkungsgesetze zwischen Materie und Geistermaterie (ghost-matter), die im zweiten Universum, dem Geisteruniversum, lokalisiert ist, abzuleiten.

• Zwei Materieteilchen ziehen sich an.

• Zwei Geistermaterieteilchen ziehen sich an.

• Materie und Geistermaterie stoßen sich ab.

...Man sieht, dass dies anders ist als das von Souriau vorgeschlagene Schema, bei dem Teilchen der zweiten Art nicht nur diejenigen, die unsere Materie bilden, abstoßen, sondern auch untereinander abstoßen.

...Die zweite Geometrie entspricht der Anwesenheit positiver Massen m* im Blatt F*. Dort kann man eine Materiedichte r* > 0 definieren (genauer: eine Geisterenergie-Materie-Dichte, da das zweite Blatt, das Geisteruniversum, auch „Geisterstrahlung“, Geisterphotonen und Geisterneutrinos enthält). Die Energie der Geisterpartikel ist positiv, ebenso wie der Druck p*.

...Aus diesen Größen kann man einen Geisterenergie-Materietensor T* konstruieren (der allgemeinste Energie-Materietensor ist etwas komplexer, aber diese schematische Beschreibung genügt „für gewöhnliche Zwecke“).

Die Feldgleichung, die die Geometrie im...