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Begriff der Geodätischen.
...In allem, was folgen wird, behandeln wir nur zweidimensionale Flächen. Es wäre besser, wenn der Leser sich mit etwas Material ausrüstete, bevor er diese Lektüre beginnt. Es gibt nämlich Dinge, die „sich mit den Händen verstehen", indem man Experimente durchführt. Man braucht also:
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Blätter aus Bristolpapier oder etwas stärkerem Papier.
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Ein Klebeband, möglichst farbig.
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Eine Schere.
...Im Handel findet man „gewebte Klebebänder", die besonders praktisch sind und den Vorteil haben, dass sie in Streifen beliebiger Breite abgerollt werden können.
...Nehmen Sie eine Fläche, zum Beispiel die Karosserie Ihres Wagens. Sie können ein Band darauf kleben und dabei dafür sorgen, dass es keine Falten wirft und stets vollständig auf seiner Unterlage haftet. Damit werden Sie Geodätische der „Auto-Fläche" ziehen.
...Wenn Sie diese Operation auf einer ebenen Fläche durchführen, erhalten Sie.. Geraden. Die Geraden sind die Geodätischen der Ebene.
...Mit drei Geodätischen können Sie auf dieser Ebene, einer „euklidischen Fläche", ein Dreieck zeichnen, wobei die Winkelsumme dieser Ebene 180° beträgt.
Die Posikonen.
Stellen wir nun eine „Posikone" her. Dazu schneiden Sie einen Winkel q aus und kleben die Fläche wie angegeben wieder zusammen.
...Ziehen wir mit dem Klebeband zwei geodätische Dreiecke, wobei das eine außerhalb der Spitze S dieser Posikone liegt und das andere diese Spitze S enthält. Messen wir die Winkelsumme des Dreiecks. Man stellt dann fest, dass die Winkelsumme des Dreiecks, das die Spitze nicht enthält, gleich 180° bleibt, während die des anderen Dreiecks 180°+q beträgt.
Um dies zu überprüfen, müsste man diese „Posikone" nur wieder öffnen und flach hinlegen. Dann erhielte man Folgendes:
...Man kann dann leicht überprüfen, dass die Geraden AH und H'B einen Winkel q bilden. Wie man „experimentell" feststellen könnte, werden die Geodätischen des Kegels nach dem Flachlegen zu Geraden der Ebene, was einfach bedeutet, dass der Kegel eine abwickelbare Fläche ist. Dasselbe gilt für einen Zylinder.
...Eine abwickelbare Fläche ist ebenfalls eine Fläche, die man auf eine Ebene abrollen kann (unter bestimmten Vorsichtsmaßnahmen bei abwickelbaren Flächen mit negativer Krümmung, wie weiter unten zu sehen sein wird).
...Wenn man mit fettiger Tinte eine Geodätische auf einen Kegel oder einen Zylinder zieht, kann man diese „Matrize" benutzen, um sie auf eine Ebene „abzudrucken", wobei man dann eine Gerade erhält. Und umgekehrt: Wenn man mit fettiger Tinte eine Gerade auf eine Ebene schreibt und sie auf einen Kegel oder einen Zylinder „abdruckt", indem man diese Gegenstände auf der Ebene abrollt, ergibt der Abdruck... Geodätische.
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