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Die Krümmung (positiv).

...Als wir unser Dreieck, bestehend aus geodätischen Linien, auf einer Ebene zeichneten, war die Summe seiner Winkel gleich π.
Eine Ebene... ist eine flache, „nicht gekrümmte“, euklidische Fläche. Die Summe der Winkel dieses Dreiecks ist daher die euklidische Summe. Im vorherigen Experiment haben wir gesehen, dass die Summe euklidisch bleibt, wenn ein Dreieck die Spitze unseres Kegels nicht enthält. Wenn das Dreieck jedoch die Spitze S enthält, weist diese Summe einen Überschuss q auf, unabhängig von der Größe des Dreiecks, solange es diesen Punkt enthält. Wir sagen, dass die Spitze des Kegels ein Punkt konzentrierter Krümmung ist.

...Wir können nun zu anderen Experimenten übergehen. Nach der Herstellung zweier Kegel mit Ausschnitten q1 und q2 können wir diese beiden Flächenelemente aneinanderkleben.

...Eine einfachere Methode besteht darin, zwei Ausschnitte in ein Stück Karton zu schneiden und die folgende Oberfläche herzustellen:

Sie können dann auf dieser Oberfläche so viele geodätische Dreiecke zeichnen, wie Sie möchten:

• Weder S1 noch S2 einschließend: Winkelsumme: π

• Nur S1 einschließend: Winkelsumme π + q1

• Nur S2 einschließend: Winkelsumme: π + q2

• Beide Punkte S1 und S2 einschließend: Winkelsumme: π + q1 + q2

...Man kann sich leicht vorstellen, dass man eine große Anzahl von Mini-Posikegeln mit einem kleinen Winkel Δq herstellen und diese übereinanderkleben kann. Man könnte sogar dafür sorgen, dass eine konstante Krümmungsdichte pro Flächeneinheit entsteht, indem man diese Krümmung als die Summe der Δq-Werte betrachtet, die jeder Spitze dieser Mini-Posikegel zugeordnet sind.

...Indem man diese Mini-Posikegel immer kleiner macht (ebenso wie den ihnen zugeordneten Elementarwinkel Δq), kann man dies nutzen, um einen Oberflächenabschnitt mit konstanter Krümmungsdichte zu konstruieren.

Die Kugel ist eine Oberfläche mit konstanter Krümmungsdichte. Man sagt einfacher: mit konstanter lokaler Krümmung.

Ein Ei ist eine gekrümmte Oberfläche mit variabler Krümmungsdichte. Man sagt einfacher: mit variabler lokaler Krümmung.

...Die Allgemeine Relativitätstheorie besteht darin, die Massendichte ρ und die lokale Krümmung gleichzusetzen. Natürlich behandelt die Allgemeine Relativitätstheorie keine zweidimensionalen Flächen, nicht einmal dreidimensionale, sondern vierdimensionale Hyperflächen. Man sollte daher nicht zu viel von dem Vorhergehenden erwarten, und wir müssen diese Abbildungen nur als didaktische Bilder betrachten, die dazu dienen, die Ideen zu verankern. Aber sie sind gar nicht so schlecht.

Didaktisches 2D-Bild eines Himmelskörpers.

Ein Himmelskörper wie die Sonne ist eine Materiekonzentration, umgeben, wenn nicht vom Vakuum, so doch zumindest von einem Quasi-Vakuum (also einer Region mit sehr geringer Krümmung). In zwei Dimensionen wäre das didaktische Bild das eines abgestumpften Kegels.

...Ein abgestumpfter Kegel wird aus zwei Elementen hergestellt: einer sphärischen Kalotte mit konstanter Krümmung (oder „konstanter Krümmungsdichte“) und einem Kegelstumpf. Dieser Kegelstumpf ist „flach“, seine Krümmungsdichte ist null. Es ist eine euklidische Fläche. Dies ist das didaktische 2D-Bild eines Himmelskörpers mit konstanter Massendichte ρ.

...Man könnte sich dabei fragen, wie man einen Kegelstumpf und eine sphärische Kalotte so perfekt aneinanderfügt, dass die Tangentialebene stetig ist.

...Das ist einfach. Der Kegelstumpf wird aus einem Kegel hergestellt, was einen Ausschnitt eines Winkels q impliziert. Die sphärische Kalotte enthält eine gewisse „Krümmungsmenge“, die ebenfalls ein Winkel ist. Dies ist die Summe aller Winkel der Mini-Posikegel, aus denen sie besteht. Diese beiden Winkel müssen gleich sein.

Aber wie bewertet man die in einer gegebenen sphärischen Kalotte enthaltene Krümmungsmenge?

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