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Gesamtkrümmung.
...Wir können eine Kugel herstellen, indem wir Mini-Posikonen aneinanderreihen. Aber bei dieser Operation wird sich diese Fläche mit konstanter Krümmung (oder Krümmungsdichte oder lokaler Krümmung) schließen. Sie enthält also eine gewisse Krümmung, aber welche?
...Wenn ich ein geodätisches Dreieck auf einer Kugel zeichne, wird es eine bestimmte Anzahl von Mini-Posikonen umschließen, eine bestimmte „Krümmungsmenge", die ein Winkel ist. Diese wird einfach proportional zur Fläche des Dreiecks sein, oder genauer gesagt zum Verhältnis zwischen der Fläche s des Dreiecks und der Fläche S der Kugel.
...Aber wir haben weiter oben gesehen, dass, wenn wir ein geodätisches Dreieck auf einer aus zusammengefügten Posikonen hergestellten Fläche zeichneten, die Abweichung von der euklidischen Summe gleich der Summe der konzentrierten Krümmungen war, die mit jeder Spitze von in unserem Dreieck enthaltenen Kegeln verbunden sind. Es genügt also, die Summe der Winkel a, b, g des obigen Dreiecks zu messen, das aus drei geodätischen Kugelbögen hergestellt ist, um ein Maß für die im Dreieck enthaltene Winkelkrümmungsmenge zu erhalten. Die Geodätischen der Kugel sind ihre „Großkreise".
...Schneiden wir unsere Kugel in acht gleiche Teile. Wir erhalten acht Dreiecke aus geodätischen Bögen, deren drei Winkel rechte sein werden.
...Jedes dieser Dreiecke enthält also eine Krümmung gleich p/2. Da es acht davon gibt, beträgt die Gesamtkrümmung der Kugel also 4 p.
...Diese kleine Bemerkung soll zeigen, dass man geometrische Ergebnisse mit äußerst einfachen Überlegungen konstruieren kann.
...Zurück zum Thema des stumpfen Kegels: Man sieht, dass die Flanke des Objekts von der Menge der „im Inneren enthaltenen" Krümmung abhängt, wobei diese Krümmung punktförmig (Kegelpunkt) oder auf eine Kugelkalotte verteilt sein kann. Man kann die Kalotte gegen einen Punkt streben lassen, indem man sie homothetisch verkleinert (derart, dass sie stets dieselbe „Krümmungsmenge" enthält).
Trajektorien.
...In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Schlüsselidee einfach: die Trajektorien der Objekte, der Teilchen, der Photonen oder der Materie mit Geodätischen gleichzusetzen. Natürlich sind es Geodätische einer vierdimensionalen Hyperfläche. Also haben wir auch hier nur didaktische Bilder.
Wenn man unseren stumpfen Kegel nimmt, kann man darauf Geodätische zeichnen und sie auf eine Ebene projizieren.
...Alle Teilchen folgen Geodätischen der Hyperfläche: die Materieteilchen, aber auch die Photonen und die Neutrinos. Deshalb haben wir uns den Spaß gemacht, eine Geodätische darzustellen, die das Objekt vollständig durchquert. Ein Neutrino kann die Sonne problemlos durchqueren.
...Aber was ist das für eine Ebene, auf die man diese Geodätischen projiziert? Das ist die Art, wie wir den Raum darstellen. Unser „mentaler Universum" ist völlig euklidisch und unser Denken „flach". Wenn wir einen Kometen die Sonne streifen sehen, kämen wir nie auf die Idee, dass er in Wirklichkeit „geradeaus" geht, das heißt, dass er einer Geodätischen der Hyperfläche folgt. Unsere Wahrnehmung der Welt ist Abbildung 24', wo ein Gestirn die Objekte „anzieht", die in seiner Nähe vorbeikommen.
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