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Der Pferdesattel.
...Man kann (zumindest gedanklich) eine große Zahl von Mini-Negakegeln herstellen und sie aneinanderfügen. Wenn die Scheitelpunkte einigermaßen regelmäßig auf dieser Fläche verteilt sind, erzeugt man ein Flächenelement mit konstanter negativer Krümmungsdichte. Aber es wird nicht wie bei der Kugel sein. Diese Fläche wird sich nicht schließen.
...Stellen wir uns vor, wir hätten ein Stück Fläche mit konstanter negativer Krümmungsdichte hergestellt (wir sagen: mit konstanter negativer Krümmung). Man kann einen beliebigen Punkt nehmen, einen Nagel, eine Schnur, und eine kreisförmige Kontur ziehen und erhält so etwas, das man einen Pferdesattel nennt (Fläche mit konstanter negativer Krümmung).
Der stumpfe Negakegel.
...Weiter oben hatten wir einen stumpfen Kegel (einen „stumpfen Posikegel") hergestellt, indem wir von einer Kugelkalotte ausgingen und sie mit einem Kegelstumpf umrandeten. Wir hatten sogar herausgefunden, wie wir es anstellen mussten, damit es keine Unstetigkeit der Tangentialebene gibt. Der Winkel, der zur Herstellung des Kegels gedient hatte, aus dem dieser Posikegelstumpf herausgeschnitten war, musste gleich der in der Kugelkalotte enthaltenen Menge an Winkelkrümmung sein.
...Es gibt ein Mittel, die in einem Pferdesattel enthaltene Menge an (negativer) Winkelkrümmung zu messen, indem man den Umfang und den Radius vergleicht, eine Operation, die in Sattlereien ziemlich selten durchgeführt wird. Nehmen wir an, wir kennen sie. Wir können den Negakegelstumpf entsprechend herstellen.
NB: Der Negakegel ist, wie der Kegel, eine abwickelbare Fläche. Das heißt, man kann ihn auf eine Ebene „abbilden". Aber die Operation scheint heikler zu sein. Man sieht schwer, wie man einen Negakegel leicht auf einer starren Ebene rollen könnte.
...Statt einer Rolloperation ist es besser, eine Abbildungsoperation ins Auge zu fassen, oder anschaulicher: eine Druckoperation. Was heißt drucken? Es heißt, eine Fläche, die mit eingefärbten Reliefs versehen ist, auf eine andere Fläche aufzubringen.
...Zu Gutenbergs Zeit legte man eine Ebene auf eine andere Ebene. Wenn man ein Muster auf einen Stoff druckt, rollt man einen Zylinder darüber. Bei einer Rotationspresse lässt man ein Papierband zwischen zwei Zylindern durchlaufen und druckt das vom einen von ihnen getragene Reliefmuster auf den Träger.
...Letztlich ist es egal, wie man es anstellt, um das Blatt auf die Matrize zu drücken, solange diese eine abwickelbare Fläche ist. Statt einen Kegel auf einer starren Ebene zu rollen, könnte man das Papier ebenso gut von Hand Stück für Stück auf den Kegel drücken und dabei ein Verrutschen vermeiden. Würde man auf dem Kegel Reliefzeichen anbringen, und würden diese, eingefärbt, sich auf das Blatt drucken, erhielte man am Ende der Operation Folgendes
...Man könnte auf dieselbe Weise verfahren, indem man ein Blatt Papier, einen biegsamen Gegenstand, auf einen Negakegel drückt, der eingefärbte Reliefs trägt. Man erhielte dann Folgendes (nachdem man alle Motive auf das Blatt übertragen hätte).
Einfaches Spiel, um die Tatsache zu veranschaulichen, dass der Negakegel tatsächlich eine abwickelbare Fläche ist.
Auf einem solchen Objekt können wir, wie auf dem stumpfen Posikegel, Geodäten ziehen und sie dann auf eine Ebene projizieren.
...Die ebene Projektion zeigt uns, wie wir die Bahnen gemäß unserer euklidischen Weltanschauung wahrnehmen würden. Das unserem Pferdesattel entsprechende Objekt würde Bahnen erzeugen, deren Form an eine abstoßende Gravitationskraft erinnern würde.
...Es wird vorgeschlagen, diese bizarre Fläche einen „stumpfen Negakegel" zu nennen. Das ist nur ein Wort, aber man muss ja eines finden. Weiter oben hatten wir gesehen, dass man stetig vom stumpfen Kegel (Posikegel) zum spitzen Kegel übergehen konnte, wobei die umgekehrte Operation darin besteht, das Objekt abzustumpfen.
...Dasselbe gilt für den stetigen Übergang vom stumpfen Negakegel zum Negakegel, der einen konzentrierten (negativen) Krümmungspunkt trägt. .
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