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Konjugierte
Geometrien.
...Wir werden also einen abgestumpften Posikonus und einen „abgestumpften Negakonus" einander zuordnen, die dieselben Krümmungsbeträge tragen, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen: + q
und - q.
Man kann sie einander gegenüberstellen (und dabei eine „punktweise Abbildung" schaffen: bijektiv, injektiv ). Es gibt dann zwei Blätter.
Nennen wir sie F und F*. Jedem Punkt von F entspricht ein Punkt von F*.
...Sorgen wir dafür, dass die kreisförmigen Ränder der „abgestumpften Teile", die Krümmung tragen (positiv im einen Blatt, negativ im anderen), einander
Punkt für Punkt entsprechen. Wir veranschaulichen dies, indem wir alles auf eine Ebene projizieren. Man erhält
zwei Flächen mit konjugierten Krümmungen.
...Die
Kegelflanken sind „un gekrümmt", sie sind Elemente
euklidischer Flächen. Man wird sagen, dass an jedem Punkt dieser Flächen die lokale Krümmung
null ist. Die Kugelkalotte und der Sattel entsprechen einander
Punkt für Punkt. Ihre Krümmungen sind entgegengesetzt.
Die Allgemeine
Relativitätstheorie.
...Der
Ausgangspunkt ist die Idee, dass die Geometrie des
Kosmos durch seinen Gehalt an „Energie-Materie" bestimmt wird.
Beachten wir, dass man den Begriff Energie-Materie und nicht nur
Materie verwendet, was deutlich zeigt, dass jeder kosmische Inhalt einen Einfluss
auf die Geometrie hat, einschließlich der Strahlung, der Photonen (oder
der Neutrinos). Wir haben weiter oben gesehen, dass ein Photon eine Mini-Krümmung
positiv im Raum erzeugt.
...Wir
werden zunächst stationär argumentieren. Eine freie, ebene Fläche ist eine
Fläche, auf der die Spannung null ist. Man kann ihre Geometrie verändern,
indem man darin Spannungen erzeugt, positive oder negative (das Vorzeichen ist
eine Frage der Konvention). Wenn ich zum Beispiel eine Plastikfolie erhitze,
kann ich darauf eine Blase entstehen lassen, das heißt einen Bereich
mit positiver Krümmung.
...Ich
kann auch auf die Oberfläche eines Blattes Papier ein Produkt auftragen, das
beim Trocknen schrumpft. Die Spannung wird einen
Bereich mit negativer Krümmung entstehen lassen.
...Ein
Blechschmied weiß, wie er mit diesen Spannungen ein
Blech verformen kann. Nehmen wir zum Beispiel ein Metallrohr. Ich erhitze auf einer Seite,
ich kühle auf der anderen. Was wird geschehen?
Das Rohr wird sich krümmen,
wobei sich der erhitzte Teil ausdehnt und der gekühlte Teil zusammenzieht.
...Dabei
haben wir Spannungen im
Metall erzeugt. Das ist der Ursprung des Wortes Tensor in der Mathematik
und in der Geometrie. Der Fachmann für Festigkeit
von Materialien wird von Spannungstensor sprechen. Der Geometer
wird von Krümmungstensor sprechen.
Das kleine Experiment
oben veranschaulicht die Idee:
Lokaler Energiegehalt ----->
lokale Geometrie
...In
der Allgemeinen Relativitätstheorie macht man es ebenso. Der Unterschied
ist, dass dieser lokale Gehalt an Energie-Materie
die Geometrie einer Hyperfläche mit vier Dimensionen bestimmt und
nicht, wie hier, die Geometrie einer Fläche mit zwei Dimensionen.
Aber die Idee ist ähnlich.
...Der
Mathematiker wird dann eine Tensor-Schreibweise verwenden. Man kann einem Nichtmathematiker hier kaum mehr sagen.
Aber der Einstein-Tensor S
(man wird fette Buchstaben verwenden) entspricht dem Geometrie-Aspekt.
In der Einstein-Gleichung identifiziert man ihn mit einem anderen Tensor
T, der
den Gehalt an Energie-Materie beschreibt, bis auf eine multiplikative Konstante,
die „Einstein-Konstante c
".
Die berühmte
Einstein-Gleichung schreibt sich also:
S = c
T
...In
den Tensor T
gehen die Massendichte r und
der Druck p ein (tatsächlich ist der allgemeinste Tensor T komplexer, aber wir begnügen uns
mit diesem üblichen Ausdruck). In einer stationären Konfiguration
gibt man sich also eine bestimmte Verteilung von Dichte und Druck
r (x,y,z)
, p (x,y,z). Damit weiß man den Tensor T zu konstruieren,
der so alle
Daten des Problems enthält. Die Frage ist dann: „Welche ist
die Geometrie, die zu diesem Tensor T gehört
und die obige Gleichung erfüllt? ".
...Mit
anderen Worten, der Physiker, der den lokalen Inhalt des Universums kennt, sucht
die Geometrie der Universums-Hyperfläche zu bestimmen.
Wer Geometrie sagt,
sagt Geodäten. Hier kommt die zweite
Hypothese der Allgemeinen Relativitätstheorie ins Spiel:
Man nimmt an, dass die Objekte, die im Universum umherlaufen,
Geodäten der Raum-Zeit-Hyperfläche
folgen.
Unter Objekt wird man
Teilchen (sogenannte Elementarteilchen, Photonen, Neutrinos)
verstehen, aber auch Planeten, Sterne usw....
An dieser Stelle eine Bemerkung
: Wo sind die Teilchen in dieser ganzen Angelegenheit?
...Antwort
: Der Spezialist für Allgemeine Relativitätstheorie arbeitet
im Makroskopischen. Die Eingabefunktionen des Problems, die
Massendichte r und
der Druck p, entsprechen einer makroskopischen Beschreibung des kosmischen Inhalts.
Dasselbe gilt für die „Ausgabe". Und der Geometer fügt hinzu:
- Sie haben mir
Funktionen r
(x,y,z)
und p (x,y,z) gegeben, ich habe Ihnen die dazugehörige Hyperfläche konstruiert, mit ihren
Familien von Geodäten. Aber mehr kann ich nicht tun. Ich
bin insbesondere unfähig, Ihnen Teilchen, Atome
usw. zu fabrizieren. Wenden Sie sich dafür an eine andere Abteilung...
Klar gesagt: Die Brücke zwischen
der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Teilchenphysik
ist noch nicht gebaut.
Aber der Astronom wird ausrufen
:
- Was macht das schon. Diese Hypothese,
der zufolge Photonen bestimmten Geodäten dieser Hyperfläche folgen, funktioniert. Der Beweis: Ich kann Beobachtungen machen.
Wenn ich annehme, dass die Planeten, die als Punktmassen aufgefasst werden,
ebenfalls Geodäten dieser Hyperfläche folgen, kann ich ihre Bahnen konstruieren. Es gibt auch die Effekte
der Gravitationslinse....
Er hat recht.
...Von
diesen Gravitationslinsen-Effekten wollen wir ein paar Worte sagen. Natürlich
ist dieses Bild des abgestumpften Kegels nur ein didaktisches Bild.
Ein Planet, der kreisförmig um einen Stern kreist, folgt
ebenfalls einer Geodäte der Raum-Zeit. Nun ist ein auf einen abgestumpften Kegel gezeichneter Kreis keine Geodäte
:
Das zeigt einfach
die Grenzen didaktischer Bilder, mögen sie auch geometrisch sein.
...Die
Photonen folgen tatsächlich Geodäten der Raum-Zeit-Hyperfläche. Man kann sich dieses Bild des abgestumpften Kegels
zunutze machen, um es zu veranschaulichen. Die Lichtstrahlen können beiderseits eines
massiven Objekts vorbeigehen und dann zum Beobachter konvergieren. Wenn wir diese Geodäten projizieren,
erhalten wir einen Mirage-Effekt: Der Beobachter wird den Eindruck haben, dass es
zwei Quellen statt einer gibt:
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