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Invarianz bei Koordinatenwechsel.

...Das ist ein Schlüsselkonzept der Allgemeinen Relativitätstheorie, das nicht leicht darzustellen ist. Wir haben gesagt, dass die Suche nach einer „kosmologischen Lösung", stationär oder instationär, darauf hinausläuft, eine vierdimensionale Hyperfläche zu konstruieren, die „Lösung der Feldgleichung" ist.

...Nehmen wir zum Beispiel ein Objekt aus Blech, das die Topologie der Sphäre hat. Das ist „eine Sphäre aus Blech". Auch hier kann man sich gut vorstellen, dass man diese Oberfläche durch Erhitzen und Abkühlen an bestimmten Stellen verformen könnte. Wenn man zum Beispiel an einem Punkt erhitzt und die antipodale Region abkühlt, würde man diese Sphäre in ein Ei verwandeln. Ein Ei ist ein Objekt, das die Topologie der Sphäre hat, aber eine Oberfläche mit veränderlicher Krümmung ist.

...Durch Erhitzen an einer Stelle und Abkühlen an einer anderen wird man Spannungen im Metall erzeugen. Da dieses Material natürlich leitend ist, würde sich die Temperatur, wenn man aufhören würde zu heizen und zu kühlen, homogenisieren und das Objekt würde seine Kugelform wieder annehmen. Was zählt, ist, dass man eine stationäre Situation mit einem nicht-uniformen Temperaturfeld erzeugen kann. Dieses Feld erzeugt Spannungen, und man könnte diese Spannungen in Form eines mathematischen Objekts T namens Tensor konkretisieren.

Etwas beschreibt die Geometrie des Objekts. Das nennt man eine Metrik. Ausgehend von diesem zweiten mathematischen Objekt kann man:

• den geometrischen Tensor S berechnen

• die Geodäten der Oberfläche berechnen.

Die Geometrie dieser Oberfläche könnte man aus einer Gleichung analog zur Einsteinschen Gleichung berechnen, nach dem Muster:

S = a T

wobei a eine Konstante ist. Wenn man das Temperaturfeld im Blech a priori kennt, also den Spannungstensor, könnte man daraus seine Geometrie ableiten. Die beste Art, diese Geometrie zu „lesen", wäre dann, das System der Geodäten zu analysieren. Wir kennen die der Sphäre (ihre „Großkreise"). Die Geodäten eines Eis sind anders.

...Um diese Geodäten zu beschreiben, müssen wir ein Koordinatensystem auf der Oberfläche definieren. Für die Sphäre kann man das klassische Azimut-System nehmen.

...In diesem besonderen Koordinatensystem würden die Geodäten der Sphäre bestimmten Gleichungen entsprechen.

Auf dieser Sphäre stellen die Kurven q = Cte die Familie der Geodäten dar, die durch zwei Punkte gehen. Dagegen sind die Kurven j = Cte (Parallelen) keine Geodäten der Oberfläche.

...Man könnte auch ein analoges Koordinatensystem definieren und die Gleichungen der Geodäten der Oberfläche „Ei" schreiben. Aber man bemerkt sofort eine wesentliche Sache: die Geodäten der Oberfläche sind unabhängig von den Koordinaten, die man zu ihrer Beschreibung wählt, ebenso wie die Punkte einer Sphäre oder eines Eis existieren, unabhängig vom Koordinatensystem, das zu ihrer Lokalisierung verwendet wird.

...Ebenso kann man auf einer Ebene Punkte in kartesischen Koordinaten oder in Polarkoordinaten darstellen. Die Geraden der Ebene sind Geodäten.

Eine Gerade kann in zwei Koordinatensystemen beschrieben werden:

...Es handelt sich um die gleiche Geodäte, mit zwei völlig unterschiedlichen Beschreibungen. Die Geraden der Ebene existieren unabhängig von der Art, wie man sie beschreibt, von der Wahl der verwendeten Koordinaten. Und man kann sich... unendlich viele vorstellen.

...Was ist also intrinsisch? Antwort: die Länge s, gemessen auf einer Geraden (oder entlang einer beliebigen krummlinigen Kontur). Zwischen zwei Punkten M1 und M2 einer Oberfläche ist der Weg minimaler Länge eine Geodäte.

...Ebenso ist der Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Geodäte der Objekte „Sphäre" oder „Ei" ebenfalls eine Größe, die unabhängig vom gewählten Koordinatensystem ist. Wenn man zwei Punkte M1 und M2 auf einer Oberfläche nimmt und den geodätischen Bogen zieht, der sie verbindet, wird die entlang dieses Bogens gemessene Länge s dieselbe sein, welches Koordinatensystem auch immer zur Lokalisierung der Punkte verwendet wird.

...Dasselbe gilt für die vierdimensionale Hyperfläche, die wir „Universum" nennen. Sie besitzt ihr System von Geodäten, ebenfalls invariant bei Koordinatenwechsel. Wir wohnen nicht in einem Raum (x, y, z, t) mit Positionskoordinaten und einer Zeitkoordinate, sondern in einer vierdimensionalen Hyperfläche, die vollständig durch ihr Netz von Geodäten beschrieben werden kann. Auf diesen Geodäten existiert eine Länge s, die ebenfalls invariant bei Koordinatenwechsel ist. Die Punkte dieser Hyperfläche sind keine Punkte des Raums mehr, sondern Punkte einer Raum-Zeit-Hyperfläche. Man nennt sie Ereignisse. Zwei verschiedene Ereignisse sind also durch etwas getrennt, das man s nennt. Aber was ist das also?

Das ist die Eigenzeit.

...Eine geodätische Trajektorie in dieser Raum-Zeit-Hyperfläche trennt zwei Ereignisse M1 und M2. Alles, was ich sagen kann, ist, dass, wenn ich ein Fahrzeug benutzt hätte, um diese Strecke in der Raumzeit zurückzulegen, auf meiner Bordrechner-Uhr eine Zeitspanne s vergangen wäre.

Eine Koordinatenwahl besteht darin, die Punkte der Raumzeit durch Raumkoordinaten (x, y, z) und eine Zeitkoordinate t zu lokalisieren. Aber da diese Wahl willkürlich ist, haben dieser Raum und diese Zeit keine intrinsische Existenz. Sie sind nur Arten, die Oberfläche zu „lesen", sie zu durchlaufen. Einzige Einschränkung: je nach getroffener Hypothese kann man sich nur entlang von Geodäten bewegen, und auf diesen ist das Einzige, woran man sich verlässlich festhalten kann, die „vergangene Eigenzeit" s, und nicht diese Zeit t, ein einfaches System chronologischer Markierung (chronological marker).

Für jede Wahl des Koordinatensystems ein anderes System des Lesens der Ereignisse, der Phänomene.

...Die Physiker haben daher einen Formalismus gesucht, der unabhängig von der Koordinatenwahl ist. Das ist die Essenz des Tensor-Formalismus. Mehr kann man zu diesem Thema nicht sagen, ohne in relativ komplexe technische Details einzusteigen.

Das Problem der Singularitäten.

Auf einer Sphäre führt die Wahl klassischer Winkelkoordinaten zwei Polsingularitäten ein.

Es ist unmöglich, eine Sphäre abzubilden, ohne diese Art von Polsingularitäten einzuführen.

...Anzumerken ist, dass man eine Sphäre mit einer einzigen Singularität abbilden kann. Man erzeugt auf der Sphäre eine erste Kurvenfamilie (Kreise), indem man sie durch Ebenen schneidet, wie im Folgenden angegeben:

Dann eine zweite Familie:

Außerhalb dieser einzigen Singularität kein Problem. Wenn man diese Sphäre von der anderen Seite betrachten würde, sähe man Folgendes:

...Außerhalb der einzigen Singularität S lokalisiert man die Punkte ohne Schwierigkeiten. Aber die Werte der Parameter a und b, die diese Netzsingularität S definieren, sind .... beliebig...

...Dennoch ist eine Sphäre geometrisch, intrinsisch nicht singulär. Drehen Sie eine Billardkugel in alle Richtungen, oder ein Ei, Sie werden darauf keinen singulären Punkt entdecken.

Diese Singularitäten wurden also durch die Wahl der Koordinaten erzeugt.

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