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Es wird hingegen echte geometrische Singularitäten geben:
Usw....
..Nebenbei bemerkt ist die Falte eine besondere Region der Oberfläche, die linienhafte Krümmung enthält, links negativ, rechts positiv. Mit Absicht wurden diese beiden Oberflächen mit Kugelkappen hergestellt. Das Endobjekt hat die Topologie der Sphäre. Es besitzt daher eine Gesamtkrümmung von 4p. Nehmen wir an, das linke Objekt sei mit zweimal drei Vierteln einer Sphäre hergestellt worden (ausgehend von Sphären gleichen Radius). Diese Bestandteile entsprechen also jeweils einer Krümmung von 3p. Insgesamt 6p. Man weiß also sofort, wie viel Krümmung (negative) die Falte enthält: - 2p. Diese ist gleichmäßig entlang der kreisförmigen Falte verteilt. Man kann also die Winkelsumme des Dreiecks ABC berechnen. Durch Messung seiner Fläche kennt man zunächst die Menge an (Winkel-)Krümmung, die es enthält. Diese ist:
Man muss die im Bogen mn enthaltene Krümmungsmenge abziehen. Diese ist:
Die Linse hat ebenfalls die Topologie der Sphäre. Die Falte enthält also eine positive linienhafte Krümmung von 2p.
...Man kann ebenso die Winkelsumme des seltsamen Dreiecks ABC berechnen, das aus drei geodätischen Linien besteht. Die Geodätischen überqueren die Falten unbekümmert. Sie brauchen nur den Versuch mit Ihrem Klebeband zu machen.
Der Bogen mn enthält die linienhafte Krümmung: Nehmen wir an, die oben angegebene Art von Linse sei mit zwei identischen Vierteln einer Sphäre hergestellt worden. Jedes enthält eine Krümmung von p. Also enthält die Oberfläche (ohne die Falte) die Krümmung 2p.
...Indem man die im Dreieck ABC und im Faltenbogen enthaltene Winkelkrümmung bilanziert, kann man die positive Abweichung von der euklidischen Summe p kennen.
Man sieht, dass man mit diesen Krümmungsproblemen bei Oberflächen ziemlich leicht jonglieren kann.
...Eine Oberfläche kann singuläre Punkte oder Falten aufweisen. In diesem Fall handelt es sich um wirklich geometrische, intrinsische Singularitäten, die nicht aus einer Koordinatenwahl resultieren.
...Nebenbei bemerkt könnte diese linienhafte Krümmung auf einen Teil der Oberfläche verteilt werden. Zum Beispiel erhielte man für die linke Figur:
...Das ist das analoge Vorgehen zu dem oben dargestellten, wo die an der Spitze eines Kegels konzentrierte Krümmung auf eine Kugelkappe verteilt wurde (stumpfer Kegel). Wenn die beiden Kugelkappen, aus denen die obige Oberfläche besteht, zum Beispiel jeweils zwei Drittel einer Sphäre darstellen, also eine Krümmung
enthält die graue Oberfläche eine negative Krümmung C, gleichmäßig verteilt, derart dass:
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