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Darstellungsraum.
...Wir hatten gesehen, dass ein Zylinder eine abwickelbare Fläche ist. Nehmen Sie nun ein Blatt Papier. Es ist eine ebene, euklidische Fläche. Seine Geodäten sind Geraden. Zeichnen Sie einige Geraden auf dieses Blatt, dann knüllen Sie es zusammen.
...Wenn Sie diese geknüllte ebene Fläche versteifen könnten, würden Sie feststellen, dass dieser Vorgang die Verteilung ihrer Geodäten in keiner Weise verändert hat, die Sie mit Ihrem Klebeband erneut zeichnen könnten. Sie haben lediglich mit der Art der Darstellung dieser Ebene in ihrem dreidimensionalen Einbettungsraum gespielt.
Eine weniger komplizierte Vorgehensweise besteht darin, ein Blech in...Wellblech zu verwandeln:
Geodäten: unverändert.
...Geometrische Objekte existieren unabhängig davon, wie wir sie uns vorstellen, unabhängig von ihrem Darstellungsraum.
...Wir sollen in einer „vierdimensionalen Hypersurface“ leben: der Raumzeit. Die Allgemeine Relativitätstheorie besteht darin, zu versuchen, ihre Geometrie als Lösung einer Feldgleichung zu konstruieren und dann diese Geometrie zu „lesen“, indem man die Geodäten der Hypersurface analysiert. Es ist offensichtlich, dass es dann nicht mehr um einen Darstellungsraum geht. Dafür müsste man über eine fünfdimensionale Sicht verfügen, die wir nicht besitzen.
...In der Praxis verwenden wir Koordinaten, die denen des euklidischen Raumes entsprechen, der Projektion. Stellen wir uns vor, wir suchen eine geometrische Lösung, die geeignet ist, die Raumzeit in der Nähe eines massiven Körpers und in seinem Inneren zu beschreiben. Wir werden annehmen, dass das System sphärische Symmetrie besitzt. Außerdem nehmen wir an, dass dieses System stationär (oder quasi-stationär) ist.
...Wir werden dann Kugelkoordinaten (r, q, j) verwenden. In zwei Dimensionen haben wir nur zwei davon und unsere Symmetrie wird kreisförmig sein. Wir verwenden dann das System der Polarkoordinaten der Ebene:
...Dieses Modell des abgestumpften Körpers ist ein didaktisches 2D-Bild einer stationären Lösung, die in der Allgemeinen Relativitätstheorie tatsächlich existiert und die 1917 vom Österreicher Schwarzschild als spezielle Lösung der „Einsteinschen Gleichung“ erfunden wurde:
S = c T
die bereits weiter oben vorgestellt wurde. Diese Lösung ist intelligent und subtil. Rechnerisch ist sie nicht einfach zu konstruieren. Diese Klarstellung dient dazu, einen Mythos zu zerstreuen: den eines Einstein, ein isoliertes Genie in der Welt seiner Zeit, bevölkert von Ignoranten.
...Ausgehend von dieser Lösung zeigt man, dass es um eine Masse mit sphärischer Symmetrie ebene Geodäten gibt, die in Ebenen liegen, und man weiß, wie man ihre Form berechnet: r = f(q). Diese Trajektorien (oder zumindest ihre Projektion in unseren mentalen euklidischen Darstellungsraum) sind „quasi-keplersch“ und die Keplerschen Gesetze erscheinen dann als Näherung, wenn die Masse, die diese Geometrie erzeugt (in der newtonschen Sicht diese „Kraft“) moderat bleibt, das heißt, wenn die lokale Krümmung in dieser Masse gering bleibt.
...Diese Lösung ist einer der Eckpfeiler der Allgemeinen Relativitätstheorie, und obwohl sie nicht durch einfache didaktische Bilder wie die, die wir dem Leser bieten, veranschaulicht werden kann, ermöglicht sie es, beispielsweise die Perihelbewegung des Merkurs vorherzusagen und zu berechnen. Einstein nutzte diese Lösung, um diesen bereits bekannten Effekt zu erklären, und erntete damit alle Lorbeeren dessen, was man fortan „die Einsteinsche Theorie“ nannte. Warum hat Schwarzschild seine Entdeckung nicht selbst genutzt? Weil er unbedingt in den Krieg ziehen und an die Schützengräben gehen wollte, wo er vergast wurde und kurz darauf starb.
...Man ist sich ohnehin nicht ganz sicher, ob diese berühmte Einsteinsche Gleichung tatsächlich von ihm stammt. Anscheinend wurde sie ihm vom großen Mathematiker Hilbert vorgeschlagen. Einstein nahm auch die spätere Entdeckung des Russen Friedmann nicht mit Begeisterung auf, der seinerseits die nichtstationäre Lösung der Feldgleichung entdeckte, die die Entwicklung des Universums beschreibt. Ähnlich verhielt es sich 1921 bei den Arbeiten des jungen Mathematikers Kaluza, dessen wiederentdeckte Arbeiten heute den Ausgangspunkt der Superstringtheorie bilden. Diese Dinge sind wissenschaftlich von geringem Interesse und mindern keineswegs den Wert Einsteins, zeigen aber, dass Sportsgeist nicht unbedingt mit dem wissenschaftlichen Wert eines Individuums einhergeht.
In der von Schwarzschild entwickelten Lösung ist der Raum technisch in zwei Teile geteilt. Im Inneren des Himmelskörpers wird die Materiedichte r als konstant angenommen. Der Energie-Impuls-Tensor T, der davon abhängt, ist ebenfalls nicht null. Außerhalb sind r und T null.
...Diese zusammengesetzte Geometrie ist daher Lösung zweier verschiedener Gleichungen, mit oder ohne rechte Seite. Die Materiedichte weist an der Oberfläche des Himmelskörpers eine Unstetigkeit auf (dies ist auch beim Paar der „inneren“ Schwarzschild-Lösung und der „äußeren“ Schwarzschild-Lösung der Fall. In diesem Fall ist der Himmelskörper eine Kugel konstanter Dichte, und diese fällt an der Oberfläche des Himmelskörpers abrupt auf null ab). Aber die Stetigkeit der Geodäten kann dennoch durch mathematische Bedingungen gewährleistet werden, deren Bild weiter oben gegeben wurde (Übergang Kegelstumpf-Kalottenkappe).
...Wenn die Masse groß wird und die Krümmungseffekte ausgeprägt sind, weichen die Trajektorien deutlicher vom keplerschen Modell ab, beispielsweise in der Nähe eines Neutronensterns. Nachfolgend die Perihelbewegung um einen solchen Himmelskörper (um die Sonne bewegt sich die Ellipse, die Trajektorie des Merkurs, um 0,15 Grad pro Jahrhundert vor).
...Die Formel und das Programm, mit denen man diese Trajektorien berechnen kann, sind übrigens keineswegs kompliziert. Wir werden sie eines Tages auf dieser Seite für Neugierige veröffentlichen.
...Derzeit setzen wir einige geometrische Wegmarken im Hinblick auf spätere Diskussionen, während wir daran erinnern, dass die angezeigten Modelle nur indikativen Charakter haben.
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