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Der geometrische Kontext.
...Eine Kugel ist ein Raum der Dimension 2. Man braucht zwei Parameter, um einen Punkt darauf zu lokalisieren. Es ist ein Raum, der eine Topologie hat (für mehr Details zur Bedeutung des Wortes Topologie siehe mein Comic „Das Topologikon“, Ed. Belin). Eine Kugel hat nicht dieselbe Topologie, dieselbe „Form“ wie ein Torus. Die Kugel besitzt Geodäten. Man kann auf ihr einen Weg einzeichnen, der zwei Punkte M1 und M2 verbindet, und die zurückgelegte Länge s messen. Diese Länge ist unabhängig von den gewählten Koordinaten zur Lokalisierung der Punkte, ebenso wie die geodätischen Kurven, die die Oberfläche bevölkern.
...Verbinden wir das Zentrum dieser Kugel mit allen ihren Punkten. Wir erhalten eine Unendlichkeit von Halbgeraden. Diese können mit demselben Lokalisierungssystem wie die Punkte lokalisiert werden, zum Beispiel zwei Winkel q und j.
Oben unsere Kugel.
Man hat ein Loch gemacht, um die Gesamtheit der Vektorstrahlen zu zeigen.
Entfernen wir nun die Kugel und behalten nur noch die Vektorstrahlen.
...Man hat diese Halbgeraden abgeschnitten, aber in Wirklichkeit sind sie unendlich. Jede ist nur durch die Angabe zweier Parameter definiert, zum Beispiel zweier Winkel. Die metrische Struktur ist verschwunden. Keine Geodäten mehr, keine Längen mehr. Was bleibt?
- Jede Halbgerade hat eine Umgebung. Man kann benachbarte Halbgeraden auswählen, um diese in eine Art Kegel einzuschließen. Innerhalb dieses Kegels kann man einen engeren einzeichnen, der die Halbgerade enthält. Das ist eine Sache konzentrischer Kreise oder russischer Puppen, aber mit Bündeln von Halbgeraden. Doch geht es nicht darum, Geodäten auf diesen Kegeln zu zeichnen. Jede ihrer Erzeugenden ist einfach eine Menge zweier Parameter, zum Beispiel zweier Winkel.
- Man unterscheidet eine intuitive Vorstellung von Differenzierbarkeit. Es gibt keine Diskontinuität in dieser „Textur“.
Nehmen wir eine ebene Fläche, mit Geodäten, Länge usw...
...Welches Koordinatensystem ich auch wähle, ich werde immer die Position meiner Punkte mit zwei reellen Zahlen (x,y), (r,q) usw. lokalisieren müssen...
Diese reellen Zahlen sind aus R2 genommen, das heißt aus der Menge der Paare reeller Zahlen, wie (3,8705 , - 17,56). Jedes Paar von Punkten aus diesem Raum der Paare reeller Zahlen hat eine Umgebung. Das ist „kontinuierlich“.
Diese „prämetrischen“ Objekte werden Mannigfaltigkeiten genannt (die Mathematiker haben ein Talent dafür, Wörter zu wählen, die für den Mann auf der Straße keinerlei Assoziationskraft haben).
...In diesem Stadium kann man also diesen Schritt überspringen, der darin besteht, eine Menge von n reellen Zahlen (n-dimensionaler Raum) zu betrachten, ohne automatisch eine Vorstellung von Länge oder Geodäten daran zu knüpfen.
...Das ist ein wenig, als betrachtete man eine Fläche, deren Punkte als einzige Einschränkung hätten, den Kontakt mit ihren Nachbarn zu bewahren. Sie wäre unendlich elastisch und verformbar. Konventionell, wenn wir eine Fläche durch ihre Kontur darstellen (sei es ihr Rand oder ihr scheinbarer Umriss), evoziert man dieses „bewegliche“ Konzept der Mannigfaltigkeit, indem man einfach die Kontur entfernt:
...Dieses Bild evoziert übrigens den Schatten des Objekts. Und ein Schatten hat weder Konsistenz noch Form. Seine Geometrie hängt von dem Objekt ab, auf das er projiziert wird.
Man kann sich die Mannigfaltigkeit (englisch manifold) auch ohne ihre Metrik als eine Familie von Geraden vorstellen.
...Dort hat man Geraden gesetzt, die parallel erscheinen. Diese Geraden müssten... wie auch immer sein, während sie ihre Näherungs- und Nachbarschaftsbeziehungen bewahren.
...Letztlich ist ein gutes Bild einer Mannigfaltigkeit V2 ein Spaghettibündel, das man zuerst kocht und dann in alle Richtungen falten und verdrehen kann, ohne die Anordnung der Nudeln zueinander zu verändern.
Jedenfalls kann man auf einer Mannigfaltigkeit eine Überlagerungsoperation mit zwei Blättern durchführen, die man mit Metriken versieht, angedeutet durch das folgende Bild:
Hier zwei 2d-Blätter mit identischen (euklidischen) Metriken. Aber man kann ebenso gut Folgendes machen:
...Man wird M und M* konjugierte Punkte nennen. Die Tatsache zu sagen, dass die beiden konjugierten Räume als die zweiblättrige Überlagerung einer Mannigfaltigkeit konstruiert sind, bedeutet einfach, dass es eine Punkt-zu-Punkt-Entsprechung zwischen den beiden Blättern F und F* gibt, aber zum Beispiel die Abstände zwischen Paaren homologer Punkte (M1,M2) , (M*1, M*2) unterschiedlich sein können. Die einzige Einschränkung ist letztlich, dass die Umgebungen von Punkten sich ebenfalls entsprechen und dass jeder nicht-singulären Region einer Schicht eine ebenfalls nicht-singuläre Region entspricht.
...Man findet das flexible Nudelpaket von vorhin wieder. Die Struktur des „Skelett-Mannigfaltigkeits“-Begriffs ist nur dazu da, die injektive Abbildung zwischen den beiden geometrischen Objekten zu konstruieren. Die obige Zeichnung ist dazu bestimmt, Fragen wie „wie sind die Blätter F und F* zueinander angeordnet? Wenn F ein Universum ist, wo ist F*?“ völlig zum Platzen zu bringen. Diese Blätter sind einfach konjugiert, mit einer Punkt-für-Punkt-Entsprechung, und diese konjugierten Punkte können durch die gleichen Koordinaten beschrieben werden.
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