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Konjugierte Krümmungen.

...Wie soll man die Vorstellung lokaler Krümmung, positiv oder negativ, in einem dreidimensionalen Raum erfassen? Nehmen wir eine Kugel. Schlagen wir irgendwo einen Nagel ein. Befestigen wir daran eine Schnur der Länge L und am anderen Ende einen Bleistift. Wir werden einen Kreis zeichnen können, der ein Breitenkreis sein wird. Führen wir dieselbe Operation mit einer Ebene und einem Sattel aus.

...Auf einer Ebene ist der Umfang 2 p L und die Fläche der Scheibe p L2.

...Auf der Kugel sind Umfang und Fläche der Kappe kleiner. Auf einem Sattel sind Umfang und die von dieser geschlossenen Kurve begrenzte Fläche größer. Beispiel: Nimmt man eine Kugel vom Radius R und eine Länge L gleich einem Viertel des Äquatorumfangs, also p R/2:

...Die Fläche der Scheibe ist 3,875-mal größer als die Fläche der Kugelkappe. Ihr Umfang ist 1,57-mal größer als der Äquator.

...Durch analoge Messungen auf einer Fläche kann man feststellen, ob die lokale Krümmung positiv oder negativ ist. Analoge Situation in 3d. Man nimmt dann einen Punkt, eine Schnur vom Radius L und zeichnet... eine Kugel. Ist die Fläche dieser Kugel kleiner als die euklidische Fläche 4 p L2, so wird man schließen, dass die lokale Krümmung positiv ist. Ist diese Fläche kleiner als die euklidische Fläche 4 p L2, so wird man schließen, dass die lokale Krümmung negativ ist. Gleiche Schlussfolgerung für das Volumen. Begnügen wir uns mit diesen qualitativen Vorstellungen. In drei und vier Dimensionen kann man eine Länge R definieren, genannt Skalarkrümmung, die aus einem Krümmungstensor berechnet wird.

...Im kosmologischen Modell, das wir vorstellen, beschließt man, zwei Universumsblätter so zu konjugieren, dass die Werte der lokalen Skalarkrümmungen an konjugierten Punkten invers sind:

R* = - R

...Das ist die rein geometrische Art, die Dinge zu betrachten. Es ist dann leicht, davon ein didaktisches 2d-Bild zu geben, mit den üblichen Vorbehalten hinsichtlich der tatsächlichen Tragweite solcher Darstellungen. Es ist die Zeichnung der folgenden Abbildung:

Oben ein stumpfer Posikonus. Die lokale Krümmung ist null auf dem Kegelstumpf und positiv in der Kugelkappe.

Unten ein „stumpfer Negakonus". Die Krümmung ist null auf dem Stumpf des Negakonus und negativ im Sattel.

...Man hat das Objekt und die Geodäten auf zwei euklidische Darstellungs-Ebenenräume projiziert. Der erste ist der eines Beobachters, der sich physisch im Blatt F befindet, der so das massereiche Objekt sehen kann, aber nicht das Testteilchen, das im Blatt F* wandert.

...Die Unsichtbarkeit eines im einen Blatt befindlichen Objekts für einen im anderen Blatt befindlichen Beobachter ist rein geometrischer Natur. Man nimmt an, dass die Photonen (bestimmten) Geodäten jedes Blattes folgen. Photonen j wandern im Blatt F (unserem Universumsblatt) und Photonen j*, die man „Geisterphotonen" (ghost photons) nennen kann, wandern im Blatt F*, dem „Geisterblatt" (ghost universe). Die Tatsache, dass die beiden Blätter eine disjunkte, nicht zusammenhängende Menge bilden, verbietet jedem Photon eines Blattes, auf das andere überzugehen.

...Das „Funktionieren" eines solchen geometrischen Systems ist weniger kompliziert, als es scheint.

...Das Blatt F hat seine Geometrie, die vollständig durch eine „Metrik" g beschrieben wird, aus der man sein Geodätensystem konstruiert. Aus dieser Metrik g kann man einen geometrischen Tensor S konstruieren und ihn mit einem Tensor T identifizieren, der „Quelle des Feldes" ist, Ursprung dieser Krümmung, indem man die Einstein-Gleichung schreibt:

S = c T

Die Geometrie des zweiten Blattes, so dass seine Skalarkrümmung invers ist, entspricht einer Metrik g*, aus der man einen geometrischen Tensor S* konstruieren kann. Die Krümmungsumkehr folgt einfach aus:

S* = - S =- c T

...Was keineswegs bedeuten wird, dass g* = - g. Die Gleichungen sind nichtlinear. Die Metrik g* erzeugt ebenfalls Geodäten.

...Betrachten wir eine Geodäte des Blattes F und tragen die Kurve ein, die den konjugierten Punkten im anderen Blatt entspricht. Das ist keine Geodäte dieses Blattes.

Umgekehrt:

...An diesem Punkt, wo stehen wir? Wir haben das Universum (angenommen, es sei das Blatt F, unsere eigene Raumzeit) mit einem Zwillingsbruder ausgestattet. Die in unserem Universum vorhandene Materie (der Tensor T) bestimmt seine Geometrie, aber sie bestimmt auch die des Zwillings. Wir nehmen an, dass unser Universum ausschließlich positive Massen und, allgemeiner, Teilchen mit positiven Energien enthält. Wir erwägen nicht die mögliche Anwesenheit negativer Massen in unserem Raumzeitblatt. Der Tensor T ist also entweder positiv, dort wo es Energie-Materie gibt, oder null dort, wo ein hohes Vakuum herrscht. Die lokale Krümmung von F ist also entweder null oder positiv, kann aber nicht negativ sein.

...Dagegen ist die Krümmung des Blattes F* (man wird dann von induzierter Krümmung sprechen) entweder null oder negativ.

...Wenn es Teilchen in diesem Blatt gibt, nehmen wir an, dass sie ebenfalls Geodäten dieses Blattes folgen. Was stellen wir nun beim Betrachten der obigen Abbildung fest? Das graue Objekt, diese in unserem Universum, im Blatt F vorhandene Masse, verhält sich wie ein abstoßendes Objekt (siehe die Krümmung der geodätischen Bahn) im Blatt F*.

...Wir haben eine exakte mathematische Lösung konstruiert, die diesem Paar „konjugierter Metriken" (g, g*) entspricht. [Siehe auf der Website: Papier Geometrical Physics B]. Die Lösung g ist identisch mit dem, was wir äußere (außerhalb des Gestirns) und innere (im Gestirn selbst) Schwarzschild-Metriken genannt haben. Wir schlagen vor, die zweite Metrik „Anti-Schwarzschild" zu nennen. [Siehe auf der Website: Geometrical Physics A, 7, das Papier 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions.]

Mit „Geistermaterie".

In dieser Sichtweise konjugierter Geometrien kann man die Situation umkehren und annehmen, dass eine (positive) Masse irgendwo im Blatt F* vorhanden ist. Sie erzeugt dort eine positive Krümmung, und das didaktische 2d-Bild dieser Geometrie entspricht dem stumpfen Kegel, einer Schwarzschild-Lösung, aber im Blatt F*.

...Gleiche Bemerkung für die Art, wie Beobachter verschiedener Blätter die Wirkung dieser Masse auf ein Testteilchen wahrnehmen, das in ihrem Universum wandert.

...Die Prüfung des obigen Schemas erlaubt es uns, die Wechselwirkungsgesetze zwischen Materie und Geistermaterie (ghost-matter) herauszuarbeiten, die im zweiten Universum, dem ghost universe, lokalisiert ist.

• Zwei Materieteilchen ziehen sich an

• Zwei Geistermaterie-Teilchen ziehen sich an.

• Materie und Geistermaterie stoßen sich ab.

...Man sieht, dass dies anders ist als das von Souriau vorgeschlagene Schema, wonach die Teilchen der zweiten Art nicht nur die unsere Materie bildenden abstießen, sondern sich auch untereinander abstießen.

...Die zweite Geometrie entspricht der Anwesenheit positiver Massen m* im Blatt F*. Man kann dort eine Materiedichte r* > 0 definieren (oder genauer eine Dichte an ghost energy-matter, da das zweite Blatt, das ghost universe, auch „Geisterstrahlung", Geisterphotonen und Geisterneutrinos enthält). Die Energie der ghost particles ist positiv, ebenso wie der Druck p*.

...Aus diesen Größen kann man einen Geister-Energie-Materie-Tensor T* konstruieren (der allgemeinste Energie-Materie-Tensor ist etwas mehr als das, aber diese schematische Beschreibung genügt „für die üblichen Bedürfnisse").

Die Feldgleichung, die die Geometrie im Blatt F* ergibt, ist:

S* = c T*

Diejenige, die die Geometrie von F* ergibt, ist:

S = -c T*

...Das sind die beiden Gleichungen von vorhin, umgekehrt. Im Blatt F ist die Geometrie induziert, in dem Sinne, dass sie von Materie M* erzeugt wird, die sich in F* befindet und daher vom Blatt F aus unsichtbar ist.

...Man kann nun erwägen, dass die beiden Blätter jeweils von ihrer eigenen Materie mit den Dichten r und r* bevölkert sind.

Die konjugierten Metriken ergeben sich dann aus dem Gleichungssystem:

S = c (T - T*)

S* =c (T* - T)

das durchaus die umgekehrten Krümmungen ergibt:

R* = - R

Ein solches Universum kann also in seinen Blättern eine beliebige Krümmung aufweisen, positiv, negativ oder null.

Ist die Krümmung im Blatt F lokal positiv, so heißt das:

T > T*

oder:
r > r
*

sie ist dann in der angrenzenden, konjugierten Region des Blattes F* negativ.

Ist die Krümmung im Blatt F lokal negativ, so heißt das:

T < T*

oder:

r < r
*

sie ist dann in der angrenzenden, konjugierten Region des Blattes F* positiv.

Ist die Krümmung in einer Region des Blattes F null, ist sie auch im Blatt F* null, was entweder bedeuten wird, dass:

T = T* = 0
(die beiden Regionen sind leer)

oder dass:

T = T* (
r = r
*)

Newton und Anti-Newton.

Das Newtonsche Gesetz ergibt sich aus der Einstein-Gleichung unter der Annahme:

• Dass die lokale Krümmung schwach ist

• Dass die Geschwindigkeiten klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind

• Dass das System (kosmologisch gesprochen) „quasi-stationär" ist.

...Es ergibt sich auf dieselbe Weise aus dem oben vorgestellten System gekoppelter Feldgleichungen. Siehe:
J.P.Petit and P.Midy: Matter ghost matter astrophysics. 1: The geometrical framework. The matter era and Newtonian approximation. [siehe auf der Website: Geometrical Physics A , 4 , 1998, Abschnitt 4.]

Man hat also die folgende Dynamik:

• Zwei Materieteilchen m1 und m2 ziehen sich nach dem Newtonschen Gesetz an.

• Zwei Teilchen aus ghost matter, aus „Geistermaterie" m*1 und m*2, ziehen sich nach dem Newtonschen Gesetz an.

• Zwei Teilchen m und m*, die verschiedenen Blättern angehören, stoßen sich nach „Anti-Newton" ab.

Zu den Tests der Allgemeinen Relativitätstheorie.

...Das Modell steht nicht im Widerspruch zu diesen. Da sich nämlich Materie und ghost matter abstoßen, herrscht dort, wo es eine Konzentration von Materie gibt (zum Beispiel unsere Galaxie), im angrenzenden, konjugierten Teil des ghost universe ein hohes Vakuum: die Materie hat dort aufgeräumt, indem sie die Geistermassen in die Ferne gestoßen hat.

In der Umgebung der Sonne ist der Tensor T* (ghost matter) also gegenüber T (Materie) vernachlässigbar, und die Feldgleichung wird zu:

S @
c T

das heißt die Einstein-Gleichung, die sich dann als Näherungsform einer „Zwillings"-Gleichung darstellt.

Fazit dieses Geometrie-Teils.

**...**Alles ist nun bereit, um zu versuchen, eine neue Idee zu nutzen, die eines Universums in ständiger Wechselwirkung mit einem Geisteruniversum, dessen Existenz sich uns nur durch die Wirkung auf das Gravitationsfeld offenbaren würde.

...In dem Papier: „J.P.Petit and P.Midy: Geometrization of antimatter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3: Twin group. Matter anti-matter duality in the ghost space. Reinterpretation of the CPT theorem. [Siehe auf der Website: Geometrical Physics B, 1-3], 1998.", wird die Zwillingsstruktur anders angegangen: über die Gruppentheorie (Zwillingsgruppe). Man wird insbesondere sehen, dass die Dualität Materie-Antimaterie in beiden Blättern existiert. Im ghost universe gibt es ghost matter und anti-ghost matter.

...Wir kennen die Newtonsche Näherung. Wir können also numerische Simulationen durchführen. Wir können auch versuchen, analytische Lösungen zu konstruieren. Wir werden auch, um vollständig zu sein, ein Modell der kosmologischen Entwicklung erzeugen müssen, das man Twin Bang nennen wird, da es beide Universen betrifft. .

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