f3214 Κοσμολογία δύο συμπανών (σελ. 14) Κριτική αυτού του άρθρου.
...Στην κλασική Γενική Σχετικότητα ξεκινάμε από μία εξίσωση πεδίου, την εξίσωση του Einstein. Εισαγάγουμε μία συγκεκριμένη λύση, η οποία είναι μία μετρική Riemannian, με υπογραφή (+ - - -). Απαραίτητη, διαφορετικά ασυμβατότητα με την Ειδική Σχετικότητα (μετρική Minkowski, με την ίδια υπογραφή). Στη συνέχεια, κάνουμε την υπόθεση ότι το σύμπαν είναι ομογενές και ισότροπο. Η μετρική γίνεται ειδική και αποκτά τη μορφή που συνηθίζουμε να αποκαλούμε μετρική Robertson-Walker.
(1)
Το x° είναι ένα χρονικό σημείο (χρονοδείκτης), μία χρονολογική μεταβλητή, το k είναι ο δείκτης καμπυλότητας = { +1 , 0 , -1 } και το u μία αδιάστατη ακτινική μεταβλητή. Γράφουμε: dx° = c dt
...Αυτή η μετρική παράγει μία μετατόπιση προς το κόκκινο, από μόνη της. Όταν εξετάζουμε τη μέτρηση της μετατόπισης προς το κόκκινο, λαμβάνουμε υπόψη δύο συγκινούμενα αντικείμενα (σταθερά ως προς το χώρο), ένα (δείκτης e) που είναι ο εκπέμπων και ένα άλλο (δείκτης o), ο παρατηρητής. Εξετάζουμε λοιπόν δύο γαλαξίες, Ge και Go. Αυτοί οι δύο γαλαξίες βρίσκονται σε μεταβλητή απόσταση, που μετριέται σε μέτρα:
(2)
η οποία αυξάνεται με το χρόνο. Αλλά αν διαιρέσουμε αυτή την απόσταση με το R(x°), που μετριέται επίσης σε μέτρα, παίρνουμε μία "αδιάστατη απόσταση":
(3)
όπου το l είναι αδιάστατο, όπως το u. Αν τοποθετήσουμε τον παρατηρητή στην αρχή των συντεταγμένων, τότε τα dq και dq είναι μηδέν και έχουμε απλώς:
(4)
Η ακτινική συντεταγμένη του παρατηρητή είναι απλώς uo = 0 και η συντεταγμένη του εκπέμποντος είναι ue. Εφόσον αυτοί οι δύο γαλαξίες παραμένουν "σταθεροί ως προς το χώρο", η αδιάστατη απόστασή τους:
(5)
είναι μία σταθερά.
Το φως διαδίδεται κατά μήκος γεωδαισιών μηδενικού μήκους, εδώ ακτινικών. Έχουμε λοιπόν:
(6)
που δίνει:
(7)
ανεξάρτητα από το αν το c είναι ή όχι σταθερό. Μπορούμε να φανταστούμε ένα σήμα που εκπέμπεται από τον εκπέμποντα γαλαξία Ge τη χρονική στιγμή te + Dte και λαμβάνεται από τον παρατηρητή (δηλ. τον δέκτη) Go τη χρονική στιγμή to + Dto. Μήκος αμετάβλητο:
(8)
...Αν υποθέσουμε ότι τα χρονικά διαστήματα Dte και Dto είναι μικρά σε σύγκριση με το χρόνο που χρειάζεται το φως για να διανύσει την απόσταση από τον εκπέμποντα γαλαξία στον παρατηρητή, παίρνουμε:
(9)
Τα Dte και Dto είναι τότε οι περίοδοι te και to των φαινομένων, στην εκπομπή και στη λήψη, αντίστοιχα. Οι le = c(te)te και le = c(to)to είναι τα μήκη κύματος.
...Με ταχύτητα φωτός που θεωρείται σταθερή, παίρνουμε, θέτοντας R(te) = Re και R(to) = Ro:
(10)
δηλαδή:
(11)
που δίνει τη μετατόπιση προς το κόκκινο συναρτήσει των τιμών των παραγόντων κλίμακας Re και Ro. Κλασικός υπολογισμός. Δείτε Adler, Schiffer και Bazin, "Introduction to General Relativity", Mac Graw Hill Ed. (12.78) σελ. 413.
Αν η ταχύτητα του φωτός μεταβάλλεται συναρτήσει του παράγοντα κλίμακας:
ce = c (Re) ≠ co = c (Ro)
τότε όλα εξαρτώνται από την υπόθεση που μπορούμε να κάνουμε για την τιμή του μήκους κύματος ονομαστικού, σχετικό με τη γραμμή, τη στιγμή της εκπομπής. Στο κλασικό μοντέλο αυτά τα δύο μήκη κύματος είναι ίσα. Η φυσική που σχετίζεται με την εκπομπή της ακτινοβολίας υποτίθεται ότι δεν αλλάζει. Αλλά στο μοντέλο μας αυτή η φυσική "διαφεύγει", λόγω της αρχικής διαφυγής των φυσικών σταθερών. Εμφανίζεται τότε το πρόβλημα της διαφυγής των σταθερών που σχετίζονται με το ηλεκτρομαγνητισμό.
Επιλέξαμε την υπόθεση (94), σύμφωνα με την οποία η σταθερά του Rydberg (ενέργεια ιονισμού του ατόμου του υδρογόνου) μεταβάλλεται ως R.
...Ήταν αυτή η υπόθεση δικαιολογημένη; Θα πρέπει να σημειωθεί εδώ ότι αυτό οδηγεί την ηλεκτρική φορτίο να μεταβάλλεται ως R1/2 (ενώ η μάζα μεταβάλλεται ως R).
...Αυτό επιβάλλει την υπόθεση ότι οι σταθερές του ηλεκτρομαγνητισμού δεν υφίστανται το ίδιο "διαδικασία γεωμετρικής μεταβολής" (gauge process) που υφίστανται οι άλλες σταθερές. Ωστόσο, δεν υπάρχει κανένας δεσμός μεταξύ του φορμαλισμού της Γενικής Σχετικότητας και του ηλεκτρομαγνητισμού, οι οποίες παραμένουν δύο ανεξάρτητα κόσμους.
...Το 1917, όταν άρχισαν να εργάζονται με την εξίσωση του Einstein, οι θεωρητικοί διαπίστωσαν ότι μπορούσαν, γράφοντας τη συνθήκη μηδενικής διαβάθμισης:
(12)
να αποδείξουν εξισώσεις διατήρησης της ενέργειας-υλικότητας και, σε προσέγγιση Newtonian, να ανακτήσουν τις εξισώσεις του Euler (μηχανική ρευστών). Στην οπτική "όλα είναι γεωμετρία", οι θεωρητικοί σκέφτηκαν αμέσως:
- Αν ολοκληρώσουμε την ηλεκτρομαγνητική δύναμη και τη γεωμετρικοποιήσουμε, θα μπορέσουμε να ανακτήσουμε, από την τανυστική εξίσωση (12), όλες τις εξισώσεις με μία φορά, δηλαδή Euler και Maxwell. Αλλά αυτό δεν ήταν τόσο απλό. Ο Jean-Marie Souriau έδειξε ότι για να γίνει αυτό, έπρεπε να εξετάσουμε μία Γενική Σχετικότητα σε πέντε διαστάσεις. Αναφορά:
Ed. Hermann, 1964, Géométrie et Relativité, κεφάλαιο "La Relativité à 5 Dimensions", σελ. 387.
...Τότε ανακαλύπτουμε τις εξισώσεις του Maxwell (πίνακας, σελ. 407 αυτού του βιβλίου). Άρα τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά όσο φαίνεται στην αρχή, καθώς απαιτείται η εισαγωγή μίας πέμπτης διάστασης x5, και τίποτα δεν έλεγε εκ των προτέρων ότι αυτό δεν θα παρήγαγε διαφορετικές σχέσεις γεωμετρικής μεταβολής.
...Θα πρέπει να σημειωθεί μία πολύ ενδιαφέρουσα πτυχή κατά τη διάβαση του βιβλίου του Souriau. Η προσέγγισή του γεννά μία "περιττή εξίσωση" (41.63) και έναν "περιττό βαθμωτό" (41.65), χωρίς προφανή φυσική ερμηνεία. Από τότε, και για 35 χρόνια, αυτό παραμένει ένα πλήρες μυστήριο, παρά το γεγονός ότι σε διδακτορικές διατριβές, υπό την καθοδήγηση του Γάλλου μαθηματικού André Lichnérowicz, επιχειρήθηκε, ανεπιτυχώς, να διευκρινιστεί το πρόβλημα.
...Στη φυσική συνηθίζουμε να καταγράφουμε φαινόμενα σε αναζήτηση εξισώσεων που θα τα περιγράψουν (π.χ. το φαινόμενο quasar).
Αντίστροφα, υπάρχουν εξισώσεις... σε αναζήτηση φαινομένων...
Παραθέτουμε, για την ιστορία, αυτή την "εξίσωση σε αναζήτη