a4104
| 4 |
|---|
Ορθογώνια μήτρες. Ορθογώνια ομάδες.
Θεωρούμε μία τετραγωνική μήτρα a. Η αντίστροφη μήτρα αντιστοιχεί στην ανταλλαγή των όρων που είναι συμμετρικοί ως προς τη διαγώνιο, όπως φαίνεται στο σχήμα:
(38)
Συμβολίζουμε την αντίστροφη μήτρα a⁻¹
Η οποία ικανοποιεί τη σχέση:
a × a⁻¹ = 1
Από εδώ και στο εξής, δεν θα γράφουμε πλέον το σύμβολο × και θα γράφουμε απλώς: a a⁻¹ = 1. Όταν δύο παχιές γράμματα βρίσκονται πλάι-πλάι, θεωρούμε ότι αντιστοιχούν αυτόματα στο γινόμενο δύο μητρών.
Μία ορθογώνια μήτρα είναι μία μήτρα της οποίας η αντίστροφη συμπίπτει με τη μήτρα της αντιστροφής.
(38b)
Μπορεί να αποδειχθεί ότι:
(38c)
άρα ο προσημασμένος ορίζουσα μίας ορθογώνιας μήτρας είναι ±1.
Αυτές είναι ορθογώνιες μήτρες κάθε τάξης (n,n). Δημιουργούν ομάδες
O(n) O(n) είναι το σύνολο των ορθογώνιων μητρών (n,n).
Θεωρούμε τις μήτρες:
(39)
Αυτές είναι ορθογώνιες μήτρες, τους οποίους η ορίζουσα είναι:
det ( g) = +1
Είναι υποομάδα της ορθογώνιας ομάδας O(2), που ονομάζεται «ειδική ορθογώνια ομάδα» SO(2).
Έχουμε μία ορθογώνια ομάδα O(3), που αποτελείται από ορθογώνιες μήτρες (3,3), των οποίων η ορίζουσα = ±1. Διαθέτει μία υποομάδα SO(3), που αποτελείται από ορθογώνιες μήτρες των οποίων η ορίζουσα είναι +1.
Σε τέσσερις διαστάσεις: έχουμε την ορθογώνια ομάδα O(4) και την υποομάδα της: την ειδική ορθογώνια ομάδα SO(4).
n διαστάσεις: η ορθογώνια ομάδα O(n), που αποτελείται από ορθογώνιες μήτρες (n,n), των οποίων η ορίζουσα είναι ±1. Διαθέτει μία υποομάδα που ονομάζεται ειδική ορθογώνια SO(n), περιορισμένη σε ορθογώνιες μήτρες των οποίων η ορίζουσα είναι +1.
Μπορεί να αποδειχθεί ότι η διάσταση μίας ορθογώνιας ομάδας είναι (40)
Εφαρμογή στον δισδιάστατο χώρο: η διάσταση της ομάδας είναι 1.
Εφαρμογή στον τρισδιάστατο χώρο: η διάσταση της ομάδας είναι τρεις (τα τρία γωνιακά στοιχεία του Euler).
Εφαρμογή στον τετραδιάστατο χώρο: η διάσταση γίνεται έξι.
Έχουμε εισαγάγει την κατευθυνόμενη ειδική ευκλείδεια ομάδα SE(2):
(41)
Η οποία συνδυάζει περιστροφές και μεταφορές.
Συμβολίζουμε:
(42)
Τότε μπορούμε να γράψουμε τη μήτρα και την ενέργειά της στο χώρο:
(43)
Παρατήρηση:
(44)
Στον δισδιάστατο επίπεδο χώρο, στο επίπεδό μας, βρίσκουμε αντικείμενα όπως:
(45)
Θεωρώντας αυτά τα ειδικά αντικείμενα:
(46)
ανήκουν σε μία κοινή κατηγορία. Αν πάρω οποιοδήποτε ζεύγος αυτών των αντικειμένων, μπορώ να βρω ένα στοιχείο της ομάδας που να μεταφέρει το πρώτο στο δεύτερο και αντίστροφα.
Το δεύτερο υποσύνολο αντικειμένων:
(47)
ανήκει σε μία άλλη κατηγορία.
Και το τρίτο επίσης:
(48)
Αλλά:
(49)
Δεν μπορώ να βρω κάποια συνδυασμό περιστροφής με μεταφορά c που να μεταφέρει ένα στο άλλο.
Μπορούμε να τροποποιήσουμε την κατευθυνόμενη ευκλείδεια ομάδα, ώστε να γίνει αυτό δυνατό;
Δείκτης Θεωρίας Ομάδων Δυναμικών
Πρωτότυπη έκδοση (αγγλικά)
a4104
| 4 |
|---|
Orthogonal matrixes. Orthogonal groups.
Take a square matrix a. The transposed matrix corresponds to the commutation of the terms which are symmetric with respect to the diagonal, as shown on the figure :
(38)
We write the inverse matrix a-1
It obeys :
a x a-1 = 1
Right now, we will no longer write the sign x and just write : a a-1 = 1 When two bold letters are side to side, we consider that it corresponds automatically to the multiplication of two matrixes.
An orthogonal matrix is a matrix whose inverse identifies to its transposed.
(38b)
One can show that :
(38c)
so that the determinant of an *orthogonal matrix *is ± 1 .
They are orthogonal matrixes of any rank ( n,n) . They form groups
O(n) O(n) is the set of orthogonal matrixes (n,n).
Consider matrixes :
(39)
They are orthogonal matrixes, whose determinant is :
det ( g) = +1
It is a sub-group of the orthogonal group O(2), which is called "special orthogonal group" SO(2).
We have an orthogonal group O(3), composed by (3,3) orthogonal matrixes, whose determinant = ± 1 . It owns a sub-group SO(3) composed by orthogonal matrixes whose determinant is + 1 .
In four dimensions : we have the orthogonal group O(4) and its sub-group : the special orthogonal group SO(4).
n dimensions : orthogonal group O(n), composed by (n,n) orthogonal matrixes, whose determinant is ± 1 . It owns a sub group, called Special orthogonal SO(n) limited to orthogonal matrixes whose determinant is + 1.
One can show that the dimension of an orthogonal group is (40)
Applying to two dimensional space : the dimension of the group is 1.
Applying to three dimensional space, the dimension of the group is three ( the three Euler's angles ).
Applying to four dimensional space, the dimension becomes six.
We have introduced the oriented Special Eulclid's group SE(2):
(41)
Which combined rotations and translation.
Call :
(42)
Then we can write the matrix and the action on space :
(43)
Remark :
(44)
In our 2d flat space, in our plane, we find objects like :
(45)
Considering these peculiar objects :
(46)
they belong to a species. If I take any couple of those object, I can find and element of the group which carries the first onto the second, and vice-versa.
The second sub-set of object :
(47)
belongs to another species.
The third, too :
(48)
But :
(49)
I cannot fing any combination rotation a plus translation c that put one on the other.
Can we modify oriented Euclid's group in order to make this possible ?