a4105
| 5 |
|---|
Συμμετρίες.
(49b)
Τι σημαίνει αυτό;
Εξετάστε ένα ομάδα που αποτελείται από τέσσερα στοιχεία (ένα "διακριτικό ομάδα").
(50)
που μπορώ να γράψω:
(51)
Η αντίστοιχη δράση είναι:
(52)
Είναι προφανές ότι μπορεί να αντιστρέψει τη συντεταγμένη x, τη συντεταγμένη y, ή και τις δύο.
Σχηματικά:
(53)
(54)
(55)
(56)
Μπορούμε τώρα να κατασκευάσουμε τον πίνακα:
(57)
Μπορούμε να ελέγξουμε ότι αυτό το σύνολο πινάκων αποτελεί ομάδα.
Το ορίζοντας τους είναι:
(58)
det ( a ) = l m ( cos 2 a + sin 2 a ) = l m = ±1
Ελέγξτε ότι ο αντίστροφος πίνακας είναι:
(59)
(60)
(61) Έτσι:
(62)
από όπου:
(63)
...SO(2) (ονομάζεται ειδική ορθογώνια ομάδα) είναι υποομάδα της O(2) (ονομάζεται ορθογώνια ομάδα) και μπορούμε να κατασκευάσουμε τους πίνακες **a **από τους πίνακες **a **μέσω:
(64)
Παρεμπιπτόντως, πολλοί από αυτούς τους πίνακες είναι περιττοί. Για παράδειγμα, αν
(64b)
(65)
που σημαίνει ότι η αλλαγή (x ---> - ; y ---> -y) είναι ισοδύναμη με μια περιστροφή κατά p. Παρατηρήστε την επόμενη εικόνα.
(66)
Γνωρίζουμε ότι οι πίνακες:
(67)
αντιστοιχούν σε μια απλή περιστροφή γύρω από το κέντρο συντεταγμένων O.
Ποιο είναι το νόημα των πιο γενικών πινάκων:
(68)
Από:
(69)
γνωρίζουμε ότι a αντιστοιχεί σε δύο συνδυασμένες πράξεις:
- Μια συμμετρία ως προς τον άξονα OX, ή τον OY, ή και τους δύο.
- Μια περιστροφή a γύρω από το κέντρο συντεταγμένων.
(70)
Στην εικόνα φαίνεται η σειρά των δύο πράξεων
( M1 ----> M4 )
Είναι προφανές ότι είναι ισοδύναμη με μια συμμετρία ως προς μια ευθεία που περνά από το O
(71)
...Έχουμε πλούτισε την "ειδική ορθογώνια ομάδα" SO(2) που ξεκίνησε την "ορθογώνια ομάδα" O(2). Έτσι ανακαλύψαμε ότι αυτή η επεκτεταμένη ομάδα περιλαμβάνει καθρέπτες συμμετρίες: όλες οι συμμετρίες ως προς ευθείες που περνούν από την αρχή των συντεταγμένων O.
(72)
Δείκτης Θεωρίας Δυναμικών Ομάδων
