a4106
| 6 |
|---|
Συστατικά ενός ομάδας.
Έχουμε θεωρήσει δύο ομάδες: SO(2) και O(2). Η δεύτερη περιλαμβάνει την πρώτη.
Η πρώτη περιλαμβάνει το ουδέτερο στοιχείο. Μπορούμε να αναπαραστήσουμε τα στοιχεία της ομάδας ως εξής:
(73) .
Τα στοιχεία της πρώτης συστατικής αποτελούν μια ομάδα (υποομάδα).
Τα στοιχεία της δεύτερης συστατικής δεν αποτελούν ομάδα, για πολλούς λόγους:
- Δεν περιλαμβάνει το ουδέτερο στοιχείο 1.
- Μπορούμε να επιλέξουμε δύο πίνακες σε αυτή τη δεύτερη συστατική των οποίων το γινόμενο δεν ανήκει σε αυτή τη δεύτερη συστατική. Παράδειγμα:
(74)
Η συστατική της ομάδας που περιλαμβάνει το ουδέτερο στοιχείο 1 ονομάζεται
ουδέτερη συστατική της ομάδας.
Στη συνέχεια, θα θεωρήσουμε ομάδες με 2, 4, 8 συστατικές.
Η ομάδα του Ευκλείδη.
Τώρα μπορούμε να συμπεριλάβουμε αυτή την επεκταμένη, πλούσια ομάδα, στη μετάθεση στο 2D, και παίρνουμε:
(75)
και την αντίστοιχη δράση αυτής της ομάδας του Ευκλείδη:
(76)
Υποθέτουμε ότι χρησιμοποιούμε την ομάδα μας για να επεξεργαστούμε, να διοικήσουμε, να μελετήσουμε γράμματα του αλφαβήτου.
Περιορίστε το σύνολο στα γράμματα: A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Έχουμε πολλές μεγέθη:
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Ξέρουμε ότι δεν μπορούμε να βρούμε κανένα στοιχείο της ομάδας, ούτε μια ακολουθιακή δράση της ομάδας, που θα μπορούσε να μετατρέψει:
G σε G
γιατί τα μεγέθη τους είναι διαφορετικά. Αποφασίζουμε να ονομάσουμε τα μεγέθη τους μάζες, έτσι ώστε το G και το G να είναι παρόμοια με σωματίδια, αντικείμενα, άτομα, που έχουν διαφορετικές μάζες. Τώρα, αυτό εξαρτάται από την ομάδα που ενεργεί σε αυτό το σύνολο αντικειμένων. Αν χρησιμοποιήσω:
(78)
υποθέτουμε ότι αυτός ο "κόσμος" είναι γεμάτος με:
(79)
με ένα συγκεκριμένο φάσμα μεγεθών (μαζών) και γωνιών. Αν εφαρμόσω δράσεις ομάδας, οποιεσδήποτε, δεν θα βρω ποτέ αντικείμενα που ανήκουν στο ρωσικό αλφάβητο:
(80)
Αυτό θα γίνει δυνατό αν χρησιμοποιήσω την πλούσια ομάδα, την ομάδα του Ευκλείδη:
(80b)
Τότε ο "κόσμος" μου θα γίνει:
(81)
Η ομάδα έχει πλούσιο το "ζωολογικό κήπο" των γραμμάτων. Αλλά στο ζωολογικό μου κήπο, ένα στοιχείο είναι αναλλοίωτο με τη συμμετρία, δηλαδή:
(82)
(83)
(84)
(85)
...Γενικά, οποιαδήποτε συμμετρία ως προς οποιαδήποτε ευθεία του επιπέδου, που είναι ένα "2D καθρέφτης", δεν αλλάζει τη "φύση" αυτού του χαρακτήρα
(86)
Θα τον ονομάσω αυτόν τον χαρακτήρα "φωτόνιο" και θα την αντιστοιχίσω με τη δυαδικότητα ύλης-αντί-ύλης. Τότε θα πάρω έναν ολικό ζωολογικό κήπο:
(88)
Μπορούμε να συνδέσουμε γράμματα της ίδιας μορφής (φύσης) αλλά διαφορετικών μεγεθών (που αντιπροσωπεύουν τις ενέργειές τους), χρησιμοποιώντας την ομάδα του Δεκάρτη:
(89)
...Αλλά δεν θα κατασκευάσουμε ένα πλήρες αναλογικό μοντέλο των στοιχειωδών σωματιδίων, βασισμένο σε γράμματα του αλφαβήτου. Αν και έτσι, ξεκινάτε να βλέπετε προς πού πηγαίνουμε. Οι ομάδες έχουν πολύ απλές πτυχές, αλλά κρυφές ιδιότητες. Αυτές οι ιδιότητες εξαρτώνται από τις υποομάδες τους, που παράγουν τα είδη.
...Η ομάδα του Ευκλείδη συνοδεύεται από έναν κόσμο του Ευκλείδη, με ένα ζωολογικό κήπο του Ευκλείδη. Τα ζώα της ευκλείδειας γεωμετρίας ονομάζονται σφαίρα, κύλινδρος, πρίσματα, επίπεδο, ευθεία, τρίγωνα, κλπ. Είναι αναλλοίωτα υπό την ενέργεια ορισμένων υποομάδων. Ο Souriau ονομάζει την υποομάδα που σχετίζεται με ένα αντικείμενο που ανήκει σε ένα είδος, την κανονικότητα αυτού του αντικειμένου.
Για παράδειγμα, οι σφαίρες που είναι κεντρικές σε ένα σημείο O είναι αναλλοίωτες υπό την ενέργεια της υποομάδας των περιστροφών γύρω από αυτό το σημείο.
-
Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το γεγονός να είναι αναλλοίωτο είναι μια ιδιότητα του είδους που ονομάζεται "σφαίρες που είναι κεντρικές σε ένα σημείο O".
-
Αντίστοιχα, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι αυτή η ιδιότητα ορίζει το είδος.
Δείτε τη θεωρία των δυναμικών ομάδων
Πρωτότυπη έκδοση (αγγλικά)
a4106
| 6 |
|---|
Components of a group.
We have considered two groups : SO(2) and O(2). The second contains the first.
The first contains the neutral element. We can figure the elements of the group as follows :
(73) .
The elements of the first component form a group (a sub-group).
The elements of the second group do not form a group, for many reasons :
- It does not contain the neutral elements **1.
**- we can pick two matrices in this second component, whose product does not belong to this second component. Example :
(74)
The component of the group which contains the neutral element 1 is called the
neutral component of the group.
In the following we will consider groups with 2, 4, 8 components.
The Euclid's group.
We can now integrate this extended, enriched group, to 2d- translation, and we get :
(75)
and the corresponding action of this Euclid's group :
(76)
Suppose we use our group to manipulate, to rule, to study alphabetic letters.
Limit the set to : A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We have several sizes :
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We know that we cannot find any element of the group, and a subsequent group's action, which can transform :
G into G
for their sizes are different. We decide to call their sizes *masses *so that G and G are similar to particules, objects, atoms, who own different masses. Now, depends on the group which acts on this set of objects. If I use :
(78)
assume this "world" is filled by :
(79)
with a certain spectrum of sizes (masses) and angles. If I operate group actions, whetever they are, I will never find objects which belong to the russian alphabet :
(80)
It will be possible if I take the enriched group, the Euclid's group :
(80b)
Then my "world" will become :
(81)
The group has enriched the letters' "zoo". But in my zoo, one is invariant by symmetry, i.e :
(82)
(83)
(84)
(85)
...In general, any symetry with respect to any straight line of the plane, which is a "2d mirror", does not change the "nature" of this character
(86)
I will call this character a "photon" and will assimilate the transform
(87)
to the matter anti-matter duality. Then I get a global zoo :
(88)
We could link letters of same shape (nature) but different sizes (representing their energies), using Descartes'group:
(89)
...But we are not going to build a complete analogical model of elementary particles, based on alphabetical characters. Anyway, you begin to see were we tend to go. Group have very simple aspects, but hidden properties. These properties depend on their sub-groups, which fathers species.
...Euclid's group goes with an Euclid's world, with Euclid's zoo. The animals of euclidean geometry are called sphere, cylinder, prisms, plane, straight line, triangles, en so on. The are invariant under some sub-group action. Souriau calls the sub-group linked to a an object, which belongs to a species, the **regularity **of this object.
For an example spheres centered on a given point O are invariant through the sub-group of rotations around this point.
-
We can consider that the fact to be invariant is a property of the species called "spheres centered on a point O".
-
Conversely we can consider that this property *defines *the species.