a4107
| 7 |
|---|
Προσπαθούμε να ταξινομήσουμε. Η ταξινόμηση βασίζεται στον ορισμό μιας είδους.
Δύο αντικείμενα που ανήκουν στο ίδιο είδος έχουν κοινή ιδιότητα.
- Πάρτε μια σφαίρα, μια συγκεκριμένη σφαίρα.
- Παρατηρήστε το υποομάδα του μεγάλου ομάδας (ομάδα Ευκλείδη) που αφήνει αυτή τη σφαίρα αναλλοίωτη. Ο Souriau ονομάζει αυτή τη υποομάδα την κανονικότητα μιας σφαίρας.
- Αναζητήστε όλα τα αντικείμενα που είναι αναλλοίωτα με την ενέργεια αυτής της υποομάδας. Βρίσκετε όλες τις σφαίρες που είναι κεντρικές σε ένα συγκεκριμένο σημείο, συμπεριλαμβανομένης της σφαίρας ακτίνας μηδέν: το σημείο.
Έτσι το σημείο ανήκει στο είδος των «σφαιρών που είναι κεντρικές στην αρχή».
Αντίστροφα:
- Πάρτε ένα σημείο ενός τρισδιάστατου χώρου.
- Παρατηρήστε την υποομάδα της ομάδας Ευκλείδη που αφήνει αυτό το σημείο αναλλοίωτο. Βρίσκετε την ορθογώνια ομάδα O(3).
- Αναζητήστε τότε όλα τα αντικείμενα που είναι αναλλοίωτα με την ενέργεια των στοιχείων αυτής της υποομάδας, κάτω από περιστροφή γύρω από αυτό το σημείο. Βρίσκετε όλες τις σφαίρες που είναι κεντρικές σε αυτό το σημείο και συμπεραίνετε ότι αυτό το σημείο και όλες αυτές οι σφαίρες ανήκουν στο ίδιο είδος.
Αντικείμενα όπως μια ευθεία, ένα επίπεδο, ένας κύλινδρος, κ.λπ. μπορούν να «κατασκευαστούν» ως ένα είδος που συνδέεται με μια συγκεκριμένη υποομάδα.
...Στη φυσική, θέλουμε να ταξινομήσουμε τα στοιχειώδη σωματίδια. Αλλά δεν μπορείτε να πάρετε ένα σωματίδιο μεταξύ του δείκτη και του δακτύλου σας και να το κοιτάξετε με μικροσκόπιο. Μπορείτε να παρατηρήσετε μόνο τη συμπεριφορά του, την κίνησή του.
Πες μου πώς κινείσαι, θα σου πω τι είσαι.
...Έχω έναν παλιό φίλο, τον Jean-Louis Philoche, ο οποίος είναι ένας καλός παίκτης σκακιού. Μπορεί να παίξει τυφλά (στα γαλλικά «jouer à l'aveugle», χωρίς να βλέπει το πιάτο). Αρκεί να δείξετε την κίνηση μιας κίνησης:
b1-c3
Για μη παίκτες:
(90) Κίνηση του ίππου
...Ο Jean-Louis μπορεί να μνημονεύσει όλα αυτά στο μυαλό του. Δεν ξέρω πώς το κάνει, αλλά λειτουργεί. Αυτό αποδεικνύει ότι τα κομμάτια του σκακιού δεν είναι απαραίτητα για να παίξετε (ένας υπολογιστής δεν τα χρειάζεται).
...Φανταστείτε ότι είστε σε ένα δωμάτιο και ακούτε δύο γείτονες που παίζουν «κάποιο παιχνίδι». Δεν τους βλέπετε, αλλά ακούτε όταν ανακοινώνουν τις κινήσεις τους.
b2-b3 b7-b5 και ούτω καθεξής...
...Σκέφτεστε: κινούν κάτι. Ποιο είναι αυτό το παιχνίδι; Παίρνετε ένα πίνακα, τοποθετείτε μικρά λίθινα σε αυτόν και καταγράφετε τις διαδοχικές κινήσεις σε φύλλο χαρτιού. Ας ονομάσουμε C τον δείκτη στήλης και L τον δείκτη γραμμής. Μια κίνηση αντιστοιχεί σε:
( DC , DL )
Αν |DC| ≤ 1 και |DL| ≤ 1: αυτό αντιστοιχεί σε κίνηση βασιλιά.
Αν |DC| = |DL|: αυτό αντιστοιχεί σε κίνηση ίππου (κατά μήκος μιας διαγωνίου).
Αν |DC| × |DL| = 0: αυτό αντιστοιχεί σε κίνηση πύργου.
Αν |DC × DL| = 3: αυτό αντιστοιχεί σε κίνηση ίππου.
Αν DL είναι αυστηρά θετικό: αυτό αντιστοιχεί σε λευκό πιόνι. Αν είναι αυστηρά αρνητικό: αντιστοιχεί σε μαύρο πιόνι.
Και ούτω καθεξής. Κατασκευάζουμε μια ταξινόμηση «αντικειμένων» βασισμένη στη συμπεριφορά τους.
Μια άλλη εικόνα. Έχετε ένα κουτί με μειωμένα βίδες. Θέλετε να τα ταξινομήσετε. Τι χρειάζεστε; Άλλα κοχλία.
(91)
- Πάρτε μια βίδα.
- Αναζητήστε το κοχλία που ταιριάζει σε αυτή.
- Επιλέξτε όλες τις βίδες που ταιριάζουν σε αυτό το κοχλία. Παίρνετε ένα είδος βιδών.
Ορθογώνια ομάδα O(3).
...Μπορούμε να επεκτείνουμε ό,τι είπαμε παραπάνω στο πλαίσιο 2D στο πλαίσιο 3D. Γνωρίζουμε πώς να εκτελέσουμε μια περιστροφή σε έναν 3D χώρο, σε σχέση με ένα σταθερό σημείο, την αρχή των συντεταγμένων. Εξαρτάται από τρία γωνίες a, b, g, που ονομάζονται γωνίες Euler. Δεν θα γράψουμε μια τέτοια μήτρα, απλά τη σημειώνουμε:
(92)
det (a) = +1
Είναι μια ορθογώνια μήτρα:
(92b)
...Η ορθογώνια ομάδα O(3) αποτελείται από όλες τις ορθογώνιες μήτρες, συμπεριλαμβανομένων εκείνων που έχουν ορισμό ίσο με -1. Τις ονομάζουμε (93)
Όπως στην προηγούμενη ενότητα, μπορούμε να πάρουμε όλες τις ορθογώνιες μήτρες από το SO(3) μέσω:
(94)
L είναι η διαγώνια μήτρα:
(95)
(96)
Όλα αυτά είναι περιττά. Αλλά εμφανίζουν αμέσως τις βασικές συμμετρίες.
(97)
(98)
(98b)
(99)
Υπάρχουν «μήτρες καθρέφτη» που αντιστρέφουν την κατεύθυνση των αντικειμένων, μετατρέποντάς τα στην εικόνα τους σε έναν καθρέφτη:
(100)
Δώστε ένα παράδειγμα κατευθυνόμενων αντικειμένων, των οποίων η κατεύθυνση αντιστρέφεται από αυτή τη συμμετρία καθρέφτη:
(101)
...Αυτή είναι η επιφάνεια που εφηύρε το Werner Boy, φοιτητής του Hilbert. Θα δοθεί ιδιαίτερη προσοχή σε αυτό το ενδιαφέρον αντικείμενο στην ενότητα του ιστότοπου που αφιερώνεται στα μαθηματικά. Έχουμε αφαιρέσει ένα τμήμα της επιφάνειας για να δείξουμε το τριπλό σημείο T.
...Μπορείτε να ονομάσετε οποιοδήποτε από αυτά τα αντικείμενα «δεξιά» ή «αριστερά». Κανείς δεν έχει ποτέ δείξει ποια είναι η «δεξιά» κίνηση περιστροφής της επιφάνειας του Boy. Ανεξάρτητα: γιατί να περιστραφεί μια επιφάνεια του Boy; Κάποιοι ισχυρίζονται ότι μπορεί να πετάξει, αλλά είμαι αμφιβόλους.
Επόμενο:
(102)
(103)
(104)
...Όπως στη γεωμετρία 2D (συμμετρία ως προς την αρχή), η συμμετρία ως προς τον άξονα x είναι ισοδύναμη με μια περιστροφή π. Τελικά:
(105)
που αλλάζει την κατεύθυνση των αντικειμένων.