ομάδες και φυσική δράση συζυγούς ορμής
| 7 |
|---|
Ένα στοιχείο gp της ομάδας Poincaré Gp ορίζεται από μια ακολουθία παραμέτρων {pi}, τους οποίους, όπως ήδη είπαμε, ο αριθμός τους αντιπροσωπεύει τη διάσταση της ομάδας. Η μήτρα dg (g = e) αποτελείται από τα ποσά {dpi}. Άρα η παραπάνω εφαρμογή είναι της μορφής:
(81)
Δηλαδή, σε ένα σύνολο αριθμών dpi αντιστοιχούμε έναν ίδιο αριθμό αριθμών dpi'. Η δυαδικότητα συνίσταται στην υπόθεση της αναλλοίωτης ενός αριθμού, σύμφωνα με:
(82)
όπου n είναι η διάσταση της ομάδας (δέκα, για την ομάδα Poincaré). Οι αριθμοί Ji αντιπροσωπεύουν τις συνιστώσες της ορμής, με τον ίδιο αριθμό.
Θα αποφασίσουμε να αναλύσουμε αυτή την ορμή J σε δύο αντικείμενα. Το πρώτο θα είναι μια αντισυμμετρική μήτρα M διαστάσεων (4,4), δηλαδή με έξι συνιστώσες, και το δεύτερο ένας "τετραδιάστατος διάνυσμα" P, μήτρα διαστάσεων (4,1):
(83)
(84) J = { M, p, E} = { M, P } Θα γράψουμε το εσωτερικό γινόμενο στη μορφή:
(85)
όπου Tr σημαίνει "ίχνος της", και θα έχουμε ακόμα:
(86)
μια γραμμική μορφή της οποίας η αναλλοίωτη εξασφαλίζει τη δυαδικότητα.
με:
(87) (87b)
(87c)
αλλά GG = 1, άρα αυτό ισούται με:
(88)
Αναγνωρίζουμε τους όρους με y (89)
Δηλαδή:
(90)
----> Εδώ ακολουθούν ξεχωριστές λεπτομέρειες υπολογισμού μητρών. Εάν επιθυμείτε, κάνοντας κλικ εδώ μπορείτε να πάτε αμέσως στο αποτέλεσμα.
Στο ίχνος μπορούμε να εφαρμόσουμε κυκλική μετάθεση των όρων.
(90a)
(90b)
(90c)
ο δεύτερος όρος του δεξιού μέλους είναι ίσος με το γινόμενο μιας γραμμής μήτρας με μια στήλη μήτρας.
Αυτό είναι ίσο με το ίχνος του αντίστροφου γινομένου (παρακάτω, σχηματικά, το γινόμενο μιας γραμμής μήτρας με μια στήλη μήτρας):
(90d)
Σε αυτό το ίχνος μπορώ να εφαρμόσω μια κυκλική μετάθεση:
(90e)
Άρα:
(90f)
(90g)
Εδώ θα εφαρμόσουμε ξανά το θεώρημα για τα ίχνη των μητρών που είναι γινόμενο μιας άλλης μήτρας με μια συμμετρική μήτρα.
Κάθε μήτρα μπορεί να γίνει συμμετρική ή αντισυμμετρική. Επιπλέον, το ίχνος του γινομένου μιας μήτρας με μια συμμετρική μήτρα είναι μηδέν.
(90h)
Μπορώ να εφαρμόσω αυτό στη μήτρα (90i) επειδή παίρνουμε το ίχνος
(90j)
(90k) = συμμετρική ( ) + αντισυμμετρική ( )
αλλά:
(90l)
άρα
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
και:
(90q)
τελικά:
(90r)
Συγκεντρώνοντας και ανταλλάσσοντας τα πράγματα στην άλλη πλευρά, λαμβάνω τη δράση της ομάδας:
Εικόνες
