Κοσμολογία διπλών κόσμων (σελ. 14)
Κριτική αυτού του άρθρου.
...
Στην κλασική Γενική Σχετικότητα ξεκινάμε από μία εξίσωση πεδίου, την εξίσωση του Einstein. Εισαγάγουμε μία συγκεκριμένη λύση, η οποία είναι μία μετρική Riemannian, με υπογραφή (+ - - -). Απαραίτητη, αλλιώς ασυμβατότητα με την Ειδική Σχετικότητα (μετρική Minkowski, με την ίδια υπογραφή). Στη συνέχεια κάνουμε την υπόθεση ότι το σύμπαν είναι ομογενές και ισότροπο. Η μετρική γίνεται ειδική και αποκτά τη μορφή που έχει συνηθίσει να λέγεται μετρική Robertson-Walker.
(1)
Το x° είναι ένα χρονικό σημείο (χρονοδείκτης), μία χρονολογική μεταβλητή, το k είναι ο δείκτης καμπυλότητας = { +1 , 0 , -1 } και το u μία αδιάστατη ακτινική μεταβλητή. Γράφουμε:
dx° = c dt
...
Αυτή η μετρική προκαλεί αυτόματα μία μετατόπιση προς το κόκκινο. Όταν εξετάζουμε τη μετατόπιση προς το κόκκινο, λαμβάνουμε υπόψη δύο συγκινούμενα αντικείμενα (σταθερά ως προς το χώρο), ένα (δείκτης e) το εκπέμπον, και ένα (δείκτης o) το παρατηρητή. Λαμβάνουμε λοιπόν δύο γαλαξίες Ge και Go. Αυτοί οι δύο γαλαξίες βρίσκονται σε μεταβλητή απόσταση, που μετριέται σε μέτρα:
(2)
η οποία αυξάνεται με το χρόνο. Αλλά αν διαιρέσουμε αυτή την απόσταση με το R(x°), που μετριέται επίσης σε μέτρα, παίρνουμε μία "αδιάστατη απόσταση":
(3)
όπου το l είναι αδιάστατο, όπως το u. Αν τοποθετήσουμε τον παρατηρητή στην αρχή των συντεταγμένων, τότε τα d q και d q είναι μηδέν και έχουμε απλά:
(4)
Η ακτινική συντεταγμένη του παρατηρητή είναι απλώς uo = 0 και αυτή του εκπέμποντος είναι ue. Εφόσον αυτοί οι δύο γαλαξίες παραμένουν "σταθεροί ως προς το χώρο", η αδιάστατη απόστασή τους:
(5)
είναι μία σταθερά.
Η φωτεινή ακτίνα διαδίδεται κατά μήκος γεωδαισιών μηδενικού μήκους, εδώ ακτινικών. Έχουμε λοιπόν:
(6)
που δίνει:
(7)
ανεξάρτητα από το αν το c είναι ή όχι σταθερό. Μπορούμε να φανταστούμε ένα σήμα που εκπέμπεται από τον εκπέμπον γαλαξία Ge τη χρονική στιγμή t e + D t e και λαμβάνεται από τον δέκτη γαλαξία (παρατηρητή) Go τη χρονική στιγμή t o + D t o. Μήκος αμετάβλητο:
(8)
...
Αν υποθέσουμε ότι τα χρονικά διαστήματα D t e και D t o είναι μικρά σε σύγκριση με το χρόνο που χρειάζεται για να φτάσει η φωτεινή ακτίνα από τον εκπέμπον στον παρατηρητή, τότε παίρνουμε:
(9)
Τα D t e και D t o είναι τότε οι περίοδοι t e και t o των φαινομένων, στην εκπομπή και στη λήψη αντίστοιχα. l e = c (t e ) t e και l e = c (t o ) t o είναι τα μήκη κύματος.
...
Με ταχύτητα του φωτός θεωρούμενη ως απόλυτη σταθερά, παίρνουμε, θέτοντας R(te) = Re και R(to) = Ro:
(10)
δηλαδή:
(11)
που δίνει τη μετατόπιση προς το κόκκινο συναρτήσει των τιμών των παραγόντων κλίμακας Re και Ro. Κλασικός υπολογισμός. Δείτε Adler, Schiffer και Bazin, "Introduction to General Relativity", Mac Graw Hill Ed. (12.78), σελ. 413.
Αν η ταχύτητα του φωτός μεταβάλλεται συναρτήσει του παράγοντα κλίμακας:
c e = c (R e) διαφορετικό από c o = c (R o)
τότε όλα εξαρτώνται από την υπόθεση που κάνουμε για την τιμή του μήκους κύματος ονομαστικού, σχετικού με τη γραμμή, κατά την εκπομπή. Στο κλασικό μοντέλο αυτά τα δύο μήκη κύματος είναι ίσα. Η φυσική που σχετίζεται με την εκπομπή της ακτινοβολίας υποτίθεται ότι δεν αλλάζει. Αλλά στο μοντέλο μας αυτή η φυσική "διαφεύγει", λόγω της συζητούμενης εξέλιξης των φυσικών σταθερών. Εμφανίζεται τότε το πρόβλημα της διαφυγής των σταθερών που σχετίζονται με το ηλεκτρομαγνητισμό.
Επιλέξαμε την υπόθεση (94), σύμφωνα με την οποία η σταθερά Rydberg (ενέργεια ιονισμού του ατόμου του υδρογόνου) μεταβάλλεται ως R.
...
Ήταν αυτή η υπόθεση δικαιολογημένη; Παρατηρήστε εδώ ότι αυτό οδηγεί στη μεταβολή του ηλεκτρικού φορτίου ως R¹/² (ενώ η μάζα μεταβάλλεται ως R).
...
Αυτό επιβάλλει την υπόθεση ότι οι σταθερές του ηλεκτρομαγνητισμού δεν υφίστανται το ίδιο "διαδικασία γεωμετρικής συμμετρίας" με τις άλλες σταθερές. Δεν υπάρχει όμως σύνδεση μεταξύ του φορμαλισμού της Γενικής Σχετικότητας και του ηλεκτρομαγνητισμού, οι οποίες παραμένουν δύο διαχωρισμένα κόσμους.
...
Το 1917, όταν άρχισαν να εργάζονται με την εξίσωση Einstein, οι θεωρητικοί διαπίστωσαν ότι μπορούσαν, γράφοντας τη συνθήκη μηδενικής διαβάθμισης:
(12)
να αποδείξουν εξισώσεις διατήρησης της ενέργειας-ύλης και, σε προσέγγιση Newton, να επανακτήσουν τις εξισώσεις Euler (μηχανική ρευστών). Στην οπτική "όλα είναι γεωμετρία", οι θεωρητικοί σκέφτηκαν αμέσως:
- Αν ολοκληρώσουμε την ηλεκτρομαγνητική δύναμη και τη γεωμετρικοποιήσουμε, θα μπορέσουμε να επανακτήσουμε, από την τανυστική εξίσωση (12), όλες τις εξισώσεις με ένα κλικ, δηλαδή Euler και Maxwell. Αλλά αυτό δεν ήταν τόσο απλό. Ο Jean-Marie Souriau έδειξε ότι για να γίνει αυτό, πρέπει να εξετάσουμε μία Γενική Σχετικότητα σε πέντε διαστάσεις. Αναφορά:
Ed. Hermann, 1964, Géométrie et Relativité, κεφάλαιο "La Relativité à 5 Dimensions", σελ. 387.
...
Τότε επανακτούμε τις εξισώσεις Maxwell (πίνακας, σελ. 407 αυτού του βιβλίου). Άρα τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά όσο φαίνεται στην αρχή, εφόσον χρειάζεται να εφαρμόσουμε μία πέμπτη διάσταση x5, και τίποτα δεν έλεγε εκ των προτέρων ότι αυτό δεν θα προκαλούσε διαφορετικές σχέσεις γεωμετρικής συμμετρίας.
...
Παρατηρήστε μία πολύ ενδιαφέρουσα λεπτομέρεια, όταν διαβάζετε το βιβλίο του Souriau. Η προσέγγισή του γεννά μία "υπερβολική εξίσωση" (41.63) και ένα "υπερβολικό βαθμωτό" (41.65), χωρίς προφανή φυσική ερμηνεία. Από τότε και μέχρι σήμερα, περίπου 35 χρόνια, αυτό παραμένει ένα πλήρες μυστήριο, παρά το γεγονός ότι σε διδακτορικές διατριβές, καθοδηγούμενες από τον Γάλλο μαθηματικό André Lichnérowicz, που είχαν καθαρά μαθηματικό χαρακτήρα, έχουν γίνει προσπάθειες, ανεπιτυχείς, για να διευκρινιστεί το πρόβλημα.
...
Στη φυσική είμαστε συνηθισμένοι να καταγράφουμε φαινόμενα σε αναζήτηση εξισώσεων που θα τα περιγράφουν (π.χ. το φαινόμενο quasar).
Αντίθετα, υπάρχουν εξισώσεις... σε αναζήτηση φαινομένων...
Για να δούμε μία περίεργη ιστορία, αναπαράγουμε αυτή την "εξίσωση σε αναζήτ